Метод объемов - 3

Задача 1.

$SABCD$ - пирамида с вершиной $S$. Плоскость $(SAB)\perp (ABC)$, также плоскость $(SCD)\perp (ABC)$. Известно, что $SB=SC$, $SA=SD$.

а) Докажите, что $ABCD$ - равнобедренная трапеция;

б) $AB=3, BC=2$, $AD=4$. Грань $SBC$ наклонена к плоскости $ABC$ под углом $45^{\circ}$. Найдите объем пирамиды.

Решение.

Рисунок к задаче 1

а) Так как плоскость $(SAB)\perp (ABC)$, и плоскость $(SCD)\perp (ABC)$, то линия пересечения плоскостей перпендикулярна плоскости $(ABC)$. Эта линия содержит точку $S$. То есть является высотой пирамиды. Пусть основание этой высоты – точка $H \in (ABC)$. Рассмотрим треугольники $SHB$ и $SHC$. Они оба – прямоугольные и равны по катету $SH$ и гипотенузам $SB=SC$. То есть $BH=CH$. Рассмотрим треугольники $SAH$ и $SDH$. Они оба – прямоугольные и равны по катету $SH$ и гипотенузам $SA=SD$. Таким образом, $AH=DH$. Так как ранее доказано, что $BH=CH$, то $AB=AH-BH=CD=DH-CH$. То есть в сновании пирамиды – равнобедренная трапеция. Доказано.

б) Рассмотрим треугольники $BCH$ и $ADH$. Они подобны по углу и двум пропорциональным сторонам.

Дополнительные построения

Составим отношение сходственных сторон для них:

$$\frac{BH}{AH}=\frac{BC}{AD}$$

$$\frac{BH}{BH+3}=\frac{2}{4}$$

$$4BH=2BH+6$$

$$BH=3$$

Определим высоту равнобедренного треугольника $BHC$:

$$h^2=BH^2-\left(\frac{BC}{2}\right)^2$$

$$h=\sqrt{9-1}=2\sqrt{2}$$

По условию угол $\angle SFH=45^{\circ}$. Тогда $SH=FH=h=2\sqrt{2}$.

Теперь и объем пирамиды можно найти:

$$S_{ABCD}=\sqrt{(p-AB)(p-BC)(p-CD)(p-AD)}=\sqrt{(6-3)(6-2)(6-3)(6-4)}=3\sqrt{8}=6\sqrt{2}$$

$$V=\frac{1}{3} S_{ABCD}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot 6\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}=8$$

Ответ: б) 8.

Задача 2.

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ - параллелепипед ($AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1$). $ABCD$ - ромб, в котором угол $\angle BAD=60^{\circ}$. Также $\angle A_1AB =\angle A_1AD=60^{\circ}$, $AA_1=A_1C$. Точка $K$ - середина $AD$.  Через отрезки $KB$ и $A_1С$ проходят параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ соответственно.

а) Найдите отношение объемов частей, на которые плоскости $\alpha$ и $\beta$ делят объем параллелепипеда;

б) $AA_1=A_1C=2$. Найдите расстояние между плоскостями $\alpha$ и $\beta$.

Решение.

Рисунок к задаче 2

Плоскость $\alpha$ проходит через прямую $KB$ параллельно $A_1C$, а плоскость $\beta$ - через $A_1C$ параллельно $KB$. Строим: $AC$ - проекция $A_1C$, отмечаем точку пересечения $AC$ и $KB$  ($T$) и через нее проводим прямую параллельно $A_1C$ - $LT$:

Строим сечение

Далее соединяем $L$ и $K$, $L$ и $B$.

Ну а вторую уже совсем просто: через $A_1$ проводим прямую $A_1R$ параллельно $LK$, а также вторую, $A_1Q$ – параллельно $LB$. Далее $QC \parallel A_1R$, $RC \parallel A_1Q$. Готово:

Строим второе сечение

Теперь надо определиться с положением точек $L, R, Q$. Рассмотрим треугольники $ATK$ и $BTC$. Они подобны по двум углам. Так как $K$ - середина $AD$, то коэффициент подобия равен 2, то есть $\frac{AT}{TC}=\frac{1}{2}$, или $AT=\frac{1}{3}AC$. Треугольники $ALT$ и $AA_1C$ подобны по двум углам, и коэффициент подобия равен 3. То есть $AL=\frac{1}{3}AA_1$. Тогда $B_1Q=\frac{1}{3}BB_1$, так как $A_1QBL$ - параллелограмм. Следовательно, сечение точно проходит через $C$ - так как $QC \parallel LK$.

а) Определим полный объем призмы:

$$V=\frac{1}{3}S_{osn} H$$

Определяем объем пирамиды $ABKL$:

$$V_{ABKL}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}S_{osn}\cdot \frac{1}{3}H=\frac{1}{36}V$$

Если призму перевернуть и поставить на основание $A_1B_1C_1D_1$, то точка $Q$ заменит точку $R$ и наоборот. То есть объем над желтой плоскостью – ровно половина объема призмы. Тогда плоскости делят объем призмы в отношении 18:17:1.

б) Расстояние между плоскостями – длина общего перпендикуляра. Найдем ее как длину перпендикуляра к прямым $LK$ и $A_1R$. $KLA_1R$ - трапеция, нам нужна ее высота. Сделаем выносной чертеж:

Выносной чертеж

$$A_1L=\frac{2}{3}AA_1=\frac{4}{3}$$

$$LK^2=AL^2+AK^2-2AL\cdot AK\cos 60^{\circ}$$

Так как по условию треугольник $AA_1C$ - равнобедренный, то точка $A_1$ расположена над точкой пересечения диагоналей ромба $ABCD$, так как высота треугольника $AA_1C$ - его медиана.

Построим призму еще точнее

Треугольник $AND$ прямоугольный с углом $\angle A_1AN=60^{\circ}$, поэтому $AN=1$.

$$ON=\frac{a\sqrt{3}}{4}$$

Так как треугольник $AON$ - прямоугольный с углом $30^{\circ}$. Тогда теорема Пифагора для треугольника $AON$:

$$AN^2+ON^2=AO^2$$

$$1+\frac{3a^2}{16}=\frac{3a^2}{4}$$

Откуда $a=\frac{4}{3}$.

Вернемся к $LK$:

$$AK=\frac{2}{3}$$

Оказывается, треугольник $ALK$ - правильный. То есть $LK=\frac{2}{3}$.

$$A_1R^2=A_1D_1^2+D_1R^2-2A_1D_1\cdot A_1R\cdot \cos 60^{\circ}$$

$$A_1R^2=\frac{16}{9}+\frac{16}{9}-2\cdot\frac{4}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{16}{9}$$

$$A_1R=\frac{4}{3}$$

$$RK^2=KD^2+DR^2-2KD\cdot DR\cdot \cos 120^{\circ}$$

$$RK^2=\frac{4}{9}+\frac{4}{9}+2\cdot \frac{4}{9}\cdot \frac{1}{2}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$$

$$RK=\frac{2}{\sqrt{3}}$$

Выносной чертеж с уточнениями

Составим систему:

$$\Bigg\{ \begin{matrix} b+c=\frac{2}{3} \\ \frac{16}{9}-b^2=\frac{4}{3}-c^2  \end{matrix} $$

Решение дает $b=\frac{2}{3}$, $c=0$. Таким образом, $KR=\frac{2}{\sqrt{3}}$ - и есть высота трапеции и расстояние между плоскостями.

Ответ: а) 18:17:1;  б) $\frac{2}{\sqrt{3}}$.

Задача 3.

$SABCD$ - правильная четырехугольная пирамида с вершиной $S$. $K$ - середина $AB$, $L$ лежит на продолжении $BC$ за точку $C$, $BL:CL=2:1$. Точка $M$ - середина $SD$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $K, L, M$. Постройте сечение. Найдите, в каком отношении плоскость $\alpha$ делит

а) отрезок $AS$;

б) площадь треугольника $ASD$;

с) объем пирамиды.

Решение.

Рисунок к задаче 3

Строим сечение:

Строим сечение

Сначала проводим $LK$, отмечаем точку $Q$ - пересечение $KL$ с $BD$. Через точку $M$ и точку $Q$ проводим прямую до пересечения с $SB$ - точки $R$. Через $R$ и $K$ проводим прямую до пересечения с отрезком $AS$. Отмечаем пересечение - точку $P$.  Строим сечение - $PMNK$. 

а) Рассмотрим треугольники $KBQ$ и $DQN$. Они подобны по двум углам. Причем $KB=0,5AB$, а $DN=0,75AB$. То есть коэффициент подобия 1,5. То есть

$$\frac{QD}{BQ}=\frac{3}{2}$$

Запишем теорему Менелая для треугольника $BSD$ и секущей $MQ$:

$$\frac{SM}{MD}\cdot \frac{DQ}{QB}\cdot \frac{BR}{RS}=1$$

$$\frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{BR}{RS}=1$$

$$\frac{BR}{RS}=\frac{2}{3}$$

Или $BR=2BS$. Запишем теорему Менелая для треугольника $ASB$ и секущей $RP$:

$$\frac{SR}{RB}\cdot \frac{BK}{KA}\cdot \frac{AP}{PS}=1$$

$$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{1}\cdot \frac{AP}{PS}=1$$

$$\frac{AP}{PS}=\frac{2}{3}$$

Это ответ на пункт а).

б)

$$S_{ASD}=\frac{1}{2}AS\cdot SD\cdot \sin \angle ASD$$

$$S_{PSM}=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{5}AS\cdot \frac{1}{2}SD\cdot \sin \angle ASD=\frac{3}{10} S_{ASD}$$

Таким образом, в пункте б) ответ: 3:7.

в) Продлим $LK$ до пересечения с $AD$ в точке $E$.

Дополнительные построения

Треугольник $\triangle EAK \sim \triangle EDN$.

$$\frac{AK}{DN}=\frac{EA}{ED}$$

$$\frac{2}{3}=\frac{EA}{ED}$$

$$EA=2AD$$

Определим полный объем пирамиды. Пока сторону основания назовем $a$:

$$V=\frac{1}{3}a^2 H$$

Определим объем пирамиды $MEDN$:

$$V_{MEDN}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}a\cdot 3a\cdot \frac{1}{2}H=\frac{3}{16}a^2 H$$

Определим объем пирамиды $PEAK$:

$$V_{PEAK}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}a\cdot 2a\cdot \frac{2}{5}H=\frac{1}{15}a^2 H$$

Разность объемов пирамид $MEDN$ и $PEAK$:

$$V_{MEDN}- V_{PEAK}=\frac{3}{16}a^2 H-\frac{1}{15}a^2 H=\frac{29}{240}a^2 H$$

Определим теперь, какая это часть от полного объема пирамиды: $\frac{29}{80}$. Это дает ответ на пункт в): отношение объемов будет равно $29:51$.

Ответ: а) $\frac{AP}{PS}=\frac{2}{3}$; б) $3:7$; в) $29:51$.