Метод объемов - 1

Задача 1.

В основании четырехугольной пирамиды $MPQRS$ лежит трапеция $PQRS$, основание $PS$ которой в 4 раза больше $QR$. Точки $E$ и $F$ лежат на ребрах $MR$ и $PS$ соответственно, причем $ME:ER=2:3$, $PF:FS=1:3$.

А) Докажите, что объемы пирамид $MEPQ$ и $EFRS$ относятся как $10:9$;

Б) Найдите расстояние от точки $E$ до плоскости $MPQ$, если известно, что трапеция $PQRS$ равнобедренная с углом $60^{\circ}$, $QR=6$, двугранные углы пирамиды при ребрах $PQ$, $PS$ и $RS$ равны $60^{\circ}$.

Решение.

Рисунок к задаче 1

а) Определим объем большой пирамиды. При этом абсолютное его значение нам не нужно, достаточно общего выражения:

$$V=\frac{1}{3}\cdot\frac{x+4x}{2}hH=\frac{5xhH}{6}$$

Здесь $H$ - высота пирамиды, $h$ - высота трапеции основания, $x$ - меньшее основание трапеции, $4x$ - большее. Теперь запишем объем пирамиды $QFERS$:

$$V_{ QFERS}=\frac{1}{3}\cdot\frac{x+3x}{2}h\cdot \frac{3}{5}H=\frac{2xhH}{5}$$

Если опустить из точки $M$ высоту пирамиды $MH$, то треугольники, образованные ею и прямой $MR$ ($MHR$ и $ERK$, $EK \parallel MH$), будут подобны с коэффициентом $0,6$:

Из подобия треугольников берем высоту маленькой пирамиды

$$\frac{MH}{EK}=\frac{MR}{ER}=\frac{5}{3}$$

Поэтому высота пирамиды $QFERS$ равна $EK=\frac{3}{5}MH=\frac{3}{5}H$.

Определим также объем пирамиды $PFQE$:

$$ V_{ PFQE}=\frac{1}{3}\cdot\frac{x}{2}h\cdot \frac{3}{5}H=\frac{xhH}{10}$$

Таким образом, объем пирамиды $MEPQ$:

$$ V_{ MEPQ}=V- V_{ QFERS}- V_{ PFQE}=\frac{5xhH}{6}-\frac{2xhH}{5}-\frac{xhH}{10}=xhH(\frac{5}{6}-0,5)=\frac{1}{3} xhH$$

Наконец, найдем объем пирамиды $FERS$:

$$ V_{ FERS}=\frac{1}{3}\cdot\frac{3x}{2}h\cdot \frac{3}{5}H=\frac{3xhH}{10}$$

Находим отношение:

$$\frac{ V_{ MEPQ}}{ V_{ FERS}}=\frac{1}{3} xhH \div \frac{3xhH}{10}=\frac{10}{9}$$

Доказано.

б) В этом пункте нам необходимо определить высоту пирамиды $MEPQ$, проведенную к ее основанию $PMQ$. Для этого рассчитаем все параметры пирамиды.

Выносной чертеж основания

Опустим высоты $QN$ и $RT$ на основание трапеции. Отрезок $QR=NT=6$ по условию. Основание трапеции $PS=24$ (вчетверо больше $QR$ по условию). Трапеция равнобедренная – отрезки $PN$ и $TS$ равны, $PN=TS=9$. Тогда боковые стороны трапеции равны $PQ=RS=18$. Так как боковые грани наклонены к основанию под одним и тем же углом, то в трапецию можно вписать окружность, так как треугольники $GMH, LMH, JMH$ равны по катету $MH$ и острому углу, а значит, их катеты $GH=LH=JH=r$.

Определение высоты пирамиды

Площадь трапеции:

$$h=\sqrt{PQ^2-PN^2}=\sqrt{324-81}=9\sqrt{3}$$

$$S=\frac{QR+PS}{2}\cdot h=\frac{6+24}{2}\cdot 9\sqrt{3}=135\sqrt{3}$$

$$r=\frac{S}{p}=\frac{135\sqrt{3}}{33}=\frac{45\sqrt{3}}{11}$$

Таким образом, апофема пирамиды (по свойству угла в $30^{\circ}$)

$$MG=ML=MJ=\frac{90\sqrt{3}}{11}$$

А высота пирамиды

$$H=\sqrt{MG^2-GH^2}=\sqrt{\frac{90^2\cdot 3}{121}-\frac{45^2\cdot 3}{121}}=\frac{135}{11}$$

Тогда объем пирамиды $MEPQ$

$$V_{ MEPQ}=\frac{1}{3} xhH=\frac{1}{3}\cdot 6\cdot 9\sqrt{3}\cdot \frac{135}{11}=\frac{2430\sqrt{3}}{11}$$

Площадь треугольника $MPQ$ равна:

$$S_{MPQ}=\frac{1}{2}PQ\cdot MG=\frac{1}{2}\cdot 18\cdot \frac{90\sqrt{3}}{11}=\frac{810\sqrt{3}}{11}$$

Определяем расстояние от точки $E$ до плоскости $MPQ$:

$$V_{ MEPQ}=\frac{1}{3}\cdot S_{MPQ}\cdot H_{MEPQ}$$

$$ H_{MEPQ}=\frac{3 V_{ MEPQ}}{ S_{MPQ}}=\frac{7290\sqrt{3}}{11}\cdot\frac{11}{810\sqrt{3}}=9$$

Ответ: б) 9

 

Задача 2.

В основании четырехугольной пирамиды $SABCD$ лежит трапеция $ABCD$, основание $AD$ которой в 2 раза меньше $BC$. Точка $Q$ - середина ребра $CD$, точка $P$ лежит на ребре $SD$, причем $SP:SD=2:3$.

А) Докажите, что объем пирамиды $SPBC$ в восемь раз больше объема пирамиды $DAPQ$;

Б) Найдите расстояние от точки $P$ до плоскости $SBC$, если известно, что в трапеции $ABCD$  угол $\angle ABC=\angle BAD=90^{\circ}$, $AD=4$, $AB=6$, а двугранные углы пирамиды при ребрах $AB$, $AD$ и $BC$ равны $\frac{\pi}{6}$.

Решение.

Рисунок к задаче 2

а) Определим объем большой пирамиды. При этом абсолютное его значение нам не нужно, достаточно общего выражения:

$$V=\frac{1}{3}\cdot\frac{y+2y}{2}hH=\frac{yhH}{2}$$

Здесь $H$ - высота пирамиды, $h$ - высота трапеции основания, $y$ - меньшее основание трапеции, $2y$ - большее. Теперь запишем объем пирамиды $DAPQ$:

$$V_{DAPQ}=\frac{1}{3}\cdot\frac{h}{2}y\cdot \frac{1}{3}H=\frac{yhH}{36}$$

Малые пирамиды внутри большой

Высота пирамиды $DAPQ$ равна $\frac{1}{3}H$, так как, если опустить перпендикуляры к основанию из точек $S$ и $P$, то треугольники с гипотенузами $SD$ и $PD$ будут подобны с коэффициентом 3.

Определим также объем пирамиды $SCDB$:

$$ V_{ SCDB}=\frac{1}{3}\cdot\frac{2y}{2}h\cdot H=\frac{yhH}{3}$$

Таким образом, объем пирамиды $BSCP$:

$$ V_{ BSCP}= V_{ SCDB}\cdot \frac{2}{3}=\frac{2yhH}{9}$$

Это так, потому что пирамиды $BSCP$ и $BPQD$ имеют общую высоту (перпендикуляр из точки $B$ к плоскости $SCD$) и их основания относятся как

$$\frac{S_{SCP}}{S_{PQD}}=\frac{SP}{PD}$$

(у треугольников $SCP$ и $PQD$ общая высота, проведенная из точки $C$, поэтому их площади относятся, как основания).

Находим отношение:

$$\frac{ V_{ BSCP}}{ V_{ DAPQ}}=\frac{2}{9} yhH \div \frac{yhH}{36}=\frac{72}{9}=8$$

Доказано.

б) В этом пункте нам необходимо определить высоту пирамиды $BSCP$, проведенную к ее основанию $BSC$. Для этого рассчитаем все параметры пирамиды. Понадобится новый рисунок по приведенным условиям:

Выносной чертеж основания

Основание $BC=8$, так как оно вдвое длиннее, чем $AD$. Высота трапеции 6.

Наша новая пирамида

Треугольники $SKH$, $STH$, $SRH$ равны по катету $SH$ и острому углу (по условию). Поэтому их гипотенузы тоже равны: $SK=ST=SR$. Отрезок $RK$ параллелен $AB$ и равен 6. Т.о. $RH=HK=3$, и $TH=3$. Так как угол $\angle STH=30^{\circ}$, то $SH=H=\sqrt{3}$.

Определим объем большой пирамиды:

$$V=\frac{yhH}{2}=\frac{4\cdot 6\cdot \sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}$$

Определим также объем пирамиды $BSCP$:

$$ V_{BSCP}=\frac{2yhH}{9}=\frac{2\cdot4\cdot 6\sqrt{3}}{9}=\frac{16\sqrt{3}}{3}$$

Площадь треугольника $BSC$ равна:

$$S_{BSC}=\frac{1}{2}BC\cdot SK=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 2\sqrt{3}=8\sqrt{3}$$

($SK=2SH=2\sqrt{3}$ по свойству угла в $30^{\circ}$)

Определяем расстояние от точки $P$ до плоскости $BSC$:

$$V_{ BSCP}=\frac{1}{3}\cdot S_{BSC}\cdot H_{BSCP}$$

$$ H_{BSCP}=\frac{3 V_{ BCSP}}{ S_{BSC}}=\frac{16\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{1}{8\sqrt{3}}=\frac{2}{3}$$

Ответ: б) $\frac{2}{3}$.