Метод индексов для решения задач стереометрии - 2

Продолжим рассматривать задачи, решаемые этим методом.

Задача 4.

В основании усеченной пирамиды $ABCA_1B_1C_1$ лежит треугольник $ABC$. Известно, что $A_1B_1:AB=3:5$. На ребрах $AA_1$   и $BC$ взяты точки $K$ и $P$ соответственно, причем $A_1K:KA=1:2$, $BP:PC=3:2$. Найдите, в каком отношении плоскость $KPC_1$ делит ребро $AB$.

Рисунок к задаче 4

Решение. В данном случае плоскость я не строила. Степени точек $K$, $P$, $C_1$ равны нулю, они принадлежат секущей плоскости. Так как $\frac{BP}{PC}=\frac{3}{2}$, то назначим точке $B$ степень 3, а у точки $C$ степень тогда должна быть равна (-2).

Согласно правилу 4

$$(f(B_1)-f(C_1))\cdot\frac{5}{3}=f(B)-f(C)$$

$$(f(B_1)-0)\cdot\frac{5}{3}=3-(-2)$$

$$\frac{5}{3} f(B_1)=5$$

$$ f(B_1)=3$$

Степени точек $A$ и $A_1$ мы не знаем, но можем, например, обозначить их как $f(A)=-2x$, $f(A_1)=x$. Это так, потому что $A_1K:KA=1:2$ по условию.

Степени некоторых точек в задаче 4

По правилу 4 запишем

$$(f(B_1)-f(A_1))\cdot\frac{5}{3}=f(B)-f(A)$$

$$(3-x)\cdot\frac{5}{3}=3-(-2x)$$

$$5-\frac{5}{3}x=3+2x$$

$$2=\frac{11}{3}x$$

$$x=\frac{6}{11}$$

Тогда $-2x=-\frac{12}{11}$, и

$$\frac{AF}{FB}=\frac{\mid f(A) \mid }{\mid f(B) \mid }=\frac{12}{11}\cdot\frac{1}{3}=\frac{4}{11}$$

В этой задаче даже точка $F$, которая делит ребро $AB$, не нарисована. Потому что в этом методе это не нужно!

Ответ: $\frac{AF}{FB}=\frac{4}{11}$

Задача 5.

В основании четырехугольной пирамиды $MABCD$ лежит параллелограмм $ABCD$. Найдите, в каком отношении плоскость, проходящая через вершину $C$, и середины ребер $MD$ и $MB$, делит ребро $MA$.

Рисунок к задаче 5

Решение. Определим степени точек $M$ и $A$, тогда

$$\frac{MF}{AF}=\frac{\mid f(M) \mid }{\mid f(A) \mid }$$

Точки $Q, E, F, C$ имеют степень ноль.  Пусть степень точки $M$ равна $k$,

$$f(M)=k$$

Степени точек в задаче 5

Тогда, так как точки $Q$ и $E$ - середины ребер, то $f(B)=-k$, $f(D)=-k$.

Согласно 4 правилу

$$f(C)-f(D)=f(B)-f(A)$$

$$0-(-k)=-k-f(A)$$

$$f(A)=-2k$$

Тогда ответ: $\frac{MF}{AF}=\frac{\mid f(M) \mid }{\mid f(A) \mid }=\frac{k}{2k}=\frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{MF}{AF}=\frac{1}{2}$.

Задача 6.

Сторона основания $ABCD$ правильной четырехугольной пирамиды $PABCD$ равна 1, а высота пирамиды равна $\sqrt{2}$. На ребрах $PA$ и $PC$ взяты точки $K$ и $M$ соответственно, причем $AK:KP=1:3$, $CM=PM$. Найдите, в каком отношении плоскость $DKM$ делит ребро $PB$.

Рисунок к задаче 6

Решение. Степени точек $K, M, D$ и $E$ нулевая. Пусть степень точки $P$ - $3$. Тогда $f(C)=-3$, так как $M$ - середина отрезка $PC$. Из того, что $AK:KP=1:3$ следует, что $f(A)=-1$.

Определение степеней точек в задаче 6

Применяя четвертое правило,

$$f(C)-f(D)=f(B)-f(A)$$

$$-3-0=f(B)-(-1)$$

$$f(B)=-4$$

Тогда ответ: $\frac{PE}{EB}=\frac{\mid f(P) \mid }{\mid f(B) \mid }=\frac{3}{4}$. Обратите внимание: нам вообще не понадобились численные данные для решения задачи этим замечательным способом!

Ответ: $\frac{PE}{EB}=\frac{3}{4}$.

Задача 7.

На ребрах $DA$, $DB$ и $DC$  треугольной пирамиды $DABC$ взяты соответственно точки $M$, $P$ и $K$ так, что $DM:DA=1:3$, $DP:DB=1:4$, $DK:DC=3:5$. Пусть $O$ - точка пересечения медиан треугольника $ABC$. Найдите, в каком отношении плоскость $MPK$ делит отрезок $DO$.

Решение. Примем степень точки $D$ за 12. Мы вправе взять любое число. Тогда, так как $DP:PB=1:3$, то степень точки $B$ $f(B)=-36$. Далее, так как $DM:MA=1:2$, то степень точки $A$: $f(A)=-24$.

Так как $DK:KC=3:2$, то степень точки $C$ $f(C)=-8$.

Теперь надо подобраться к точке $O$. Найдем степени точек, являющихся серединами отрезков $AB, BC, AC$. Середина $F$ отрезка $AC$ имеет степень

$$f(F)=\frac{f(A)+f(C)}{2}=\frac{-24+(-8)}{2}=-16$$

Середина $E$ отрезка $BC$ имеет степень

$$f(E)=\frac{f(B)+f(C)}{2}=\frac{-36+(-8)}{2}=-22$$

Медианы делятся точкой пересечения в отношении $2:1$, считая от вершины, поэтому степень точки $O$ равна

$$f(O)=f(E)+\frac{f(A)-f(E)}{3}=-22-\frac{2}{3}=-22\frac{2}{3}$$

Можем провести проверку, сделав аналогичный расчет для отрезка $BF$:

$$f(O)=f(F)+\frac{f(B)-f(F)}{3}=-16-\frac{20}{3}=-22\frac{2}{3}$$

Наконец, можем давать ответ:

$$\frac{DW}{OW}=\frac{\mid f(D) \mid }{\mid f(O) \mid }=$\\frac{12}{22\\frac{2}{3}}=\\frac{12}{1}\\cdot\\frac{3}{68}=\\frac{9}{17}$$

Ответ: $frac{DW}{OW}=frac{9}{17}$.