Метод индексов для решения задач стереометрии-1

Сегодня мы познакомимся с очень интересным методом решения задач, который называется «метод индексов» или «метод степени точки». Он применяется в задачах, где плоскость сечет какое-нибудь объемное тело, и нужно найти, в каком отношении она будет делить одно из ребер, например.

Обратимся к теории. Рассмотрим прямую, которая пересекает плоскость, и две точки на ней - $M$ и $N$. Спроецируем точки на плоскость – получим проекции точек $M_1$ и $N_1$ соответственно. Треугольники $OMM_1$ и $ONN_1$ подобны:

$$\frac{OM}{ON}=\frac{MM_1}{NN_1}$$

Расстояние от точки до прямой определяется формулой:

$$MM_1=\frac{\mid ax_1+by_1+cz_1+d\mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

А

$$NN_1=\frac{\mid ax_2+by_2+cz_2+d\mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

Тогда отношение

$$\frac{MM_1}{NN_1}=\frac{\mid ax_1+by_1+cz_1+d\mid }{\mid ax_2+by_2+cz_2+d\mid }$$

Функцию $f(x,y,z)=ax+by+cz+d$ назовем степенью точки. Это – просто число. Более того, когда мы определяем степень первой точки, мы можем назначить ее самостоятельно. Иными словами, мы расстояние от самой первой точки до плоскости назначаем сами (как бы выбираем масштаб), а расстояния от этой плоскости до других точек уже вычисляем по всем правилам. Так как степень точки – расстояние от нее до плоскости, то степени точек, лежащих в плоскости, равны нулю. Это второе правило. Третье правило: по одну сторону секущей плоскости индексы точек (их степени) одного знака, а по другую – противоположного. То есть точки, лежащие по одну сторону от плоскости и на одном и том же расстоянии от нее, имеют равные степени. Четвертое правило: если точки $A,B,C,D$ таковы, что $\vec{AB}=\vec{CD}$, то $f(B)-f(A)=f(D)-f(C)$, а если $\vec{AB}=n\cdot \vec{CD}$, то $f(B)-f(A)=n(f(D)-f(C))$.

Степень точки немного напоминает потенциальную энергию, или потенциал, так что можно коррелировать с физикой.

Теперь попробуем решать задачи этим методом.

Задача 1.

Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через точки $D$, $C_1$ и середину ребра $A_1B_1$ делит диагональ $D_1B$ параллелепипеда.

Рисунок к 1 задаче

Я построила сечение, зная, что плоскость сечет параллельные плоскости (боковые грани) по параллельным прямым, то есть $KP \parallel DC_1$ - так и получилась точка $K$ - она середина отрезка $AA_1$. Степени точек $K,P, D, C_1$ равны нулю, так как данные точки принадлежат плоскости (правило 2). Обращаю внимание, что строить плоскость вовсе не обязательно. В следующих задачах мы этого делать не будем вовсе. Зато степени точек очень удобно обозначать прямо на чертеже, это придает наглядности и помогает быстрее "увидеть" решение. 

 

Точки с нулевой степенью

Пусть диагональ параллелепипеда пересекает плоскость сечения в некоторой точке  $W$ (ее степень тоже ноль). Чтобы найти отношение $\frac{B_1W}{DW}$, надо бы найти степени точек $B$ и $D_1$.

Степени точек «над» плоскостью будут у нас иметь положительные знаки, например, степень точки $A_1$, а точки «под» плоскостью будут иметь отрицательные степени. Тут мы вольны поступать, как нам удобно и нравится – можно сделать и наоборот, не имеет значения. Почему «под» и «над» в кавычках – потому что это может быть и «справа» и «слева» - секущая плоскость-то может по-разному расположена.

Пользуясь первым правилом, назначаем точке $A_1$ степень 1. Так как $K$ - середина отрезка $AA_1$,  то у точки $A$ - степень (-1), такая же, как у $A_1$, но с минусом. Теперь переходим через точку $P$. Точка $P$ - середина отрезка $A_1B_1$, поэтому точка $B_1$ имеет степень (-1).

 

Точке $A_1$ присвоили степень 1

Пользуясь четвертым правилом и тем, что $AA_1 \parallel BB_1, AA_1=BB_1$, запишем:

$$f(B)-f(A)=f(B_1)-f(A_1)$$

$$f(B)= f(B_1)-f(A_1)+ f(A)=-1-1+(-1)=-3$$

Пользуясь четвертым правилом и тем, что $A_1D_1 \parallel AD, A_1D_1=AD$, запишем:

$$f(D_1)-f(A_1)=f(D)-f(A)$$

$$f(D_1)= f(D)-f(A)+ f(A_1)=0-(-1)+1=2$$

 

Вычисляем степени других точек

Получили решение:

$$\frac{B_1W}{DW}=\frac{\mid f(B)\mid}{\mid f(D_1) \mid}=\frac{3}{2}$$

Ответ: $\frac{B_1W}{DW}=\frac{3}{2}$.

Задача 2.

В основании усеченной пирамиды $ABCA_1B_1C_1$ лежит треугольник $ABC$. Известно, что $A_1B_1:AB=2:3$. На ребре $AB$ взята точка $K$, на ребре $BC$ - точка $M$, причем $AK:KB=3:2$, $BM:MC=5:3$. Найдите, в каком отношении плоскость $A_1KM$ делит ребро $CC_1$.

Рисунок к задаче 2

Решение. В данном случае плоскость я не строила. Степени точек $A_1, K, M$ равны нулю – они принадлежат плоскости. Пусть точка $W$ - точка, в которой плоскость пересечет ребро $CC_1$. Чтобы найти отношение $\frac{C_1W}{CW}$, нужно знать степени точек $C_1$ и $C$.

 

Точки с нулевыми степенями

Согласно правилу 1 выберем степень точки $B$. Пусть она равна 2. Тогда, так как

$$\frac{AK}{KB}=\frac{3}{2}$$

то  степень точки $A$ $f(A)=-3$, ведь она по другую сторону плоскости по отношению к точке $B$.

Вычислили степени остальных точек

Определяем степень точки $C$. Так как

$$\frac{BM}{MC}=\frac{5}{3}$$

то  степень точки $С$ в $\frac{5}{3}$ раза меньше степени точки $B$: $f(С)=-1,2$.

Воспользуемся правилом 4:

$$(f(C_1)-f(A_1))\cdot 1,5=f(C)-f(A)$$

$$( f(C_1)-0)\cdot 1,5=-1,2-(-3)$$

$$ f(C_1)=\frac{1,8}{1,5}=1,2$$

$$\frac{C_1W}{CW}=\frac{\mid 1,2\mid}{\mid -1,2 \mid}=\frac{1}{1}$$

Ответ: плоскость пересекает отрезок $CC_1$ в его середине.

Задача 3.

В основании усеченной пирамиды $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит параллелограмм $ABCD$. Известно, что $A_1B_1: AB=1:2$. На ребре $DD_1$ взята точка $K$ так, что $D_1K:DK=2:1$. Найдите, в каком отношении плоскость, проходящая через вершину $B_1$, середину ребра $AA_1$ и точку $K$, делит ребро $CC_1$ пирамиды.

Рисунок к задаче 3

Решение. Точки $K, M, F, B_1$ имеют степень 0, так как принадлежат плоскости. Точка $F$ поставлена «на глазок» и чертеж является не точным, а ориентировочным, просто для удобства.

 

Точки с нулевыми степенями

Согласно правилу 1 выберем степень точки $D_1$, $f(D_1)=2$. По условию $D_1K:DK=2:1$, поэтому $f(D)=-1$.

По правилу 4

$$(f(D_1)-f(B_1))\cdot 2=f(D)-f(B)$$

$$(2-0)\cdot 2=-1-f(B)$$

$$ f(B)=-1-4=-5$$

Назначили степень точки $D_1$

Так как $M$ - середина $AA_1$, то $\mid f(A)\mid =\mid f(A_1)\mid$. Снова обратимся к 4 правилу:

$$f(D)-f(A)=2\cdot(f(D_1)-f(A_1))$$

$$-1-f(A)=2\cdot(2-f(A_1))$$

$$-1-f(A)=4-2f(A_1)$$

$$-1-f(A)=4+2f(A)$$

$$-5=3f(A)$$

$$f(A)=-\frac{5}{3}$$

$$f(A_1)=\frac{5}{3}$$

 

Вычислили степени других точек

Используем правило 4 еще раз:

$$f(D)-f(A)=f(C)-f(B)$$

$$-1+\frac{5}{3}=f(C)-(-5)$$

$$f(C)=-\frac{13}{3}$$

И еще раз:

$$f(B_1)-f(A_1)=f(C_1)-f(D_1)$$

$$0-\frac{5}{3}=f(C_1)-2$$

$$f(C_1)=\frac{1}{3}$$

Таким образом,

$$\frac{C_1W}{CW}=\frac{f(C_1)}{f(C)}=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{13}=\frac{1}{13}$$

Ответ: плоскость делит ребро $CC_1$ в отношении $1:13$.