Две задачи, в которых плоскость сечет призму

Задача 1.

В треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ ($AA_1\parallel BB_1\parallel CC_1$) на ребре $AB$ выбрана точка $M$, $AM:AB=1:3$. На продолжении ребра $BC$ выбрана точка $K$, причем $KC:BC=1:2$. Точка $O$ - пересечение $BC_1$ и $CB_1$. Через точки $M, O$ и $K$ проведена секущая плоскость. Постройте сечение и найдите, в каком отношении секущая плоскость а) разделит ребро $CC_1$; б) разделит площадь грани $CAA_1C_1$; в) разделит объем призмы.

Решение.

Делаем рисунок к задаче 1

Строим сечение: проводим $KO$, причем доводим до пересечения с $BB_1$. Пусть там точка $P$. Пусть также пересечение $KO$ с $CC_1$ - точка $Q$. Далее проводим $PM$ и затем $MQ$. Готово.

Строим сечение

а) Точка $O$ - середина грани $BB_1C_1C$. Поэтому, если провести через точку $O$ $OH\parallel СС_1$, то $OH=\frac{1}{2}CC_1=\frac{1}{2}BB_1$.

Треугольники $PBK$, $OHK$ и $QCK$ подобны по двум углам.

$$\frac{PB}{OH}=\frac{BK}{HK}=\frac{\frac{3}{2}BC}{BC}=\frac{3}{2}$$

$$PB=\frac{3}{2}OH=\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}BB_1=\frac{3}{4}BB_1$$

Также

$$\frac{PB}{QC}=\frac{BK}{CK}=\frac{\frac{3}{2}BC}{\frac{1}{2}BC}=3$$

Откуда

$$QC=\frac{1}{4}CC_1$$

Точка $Q$ делит ребро $CC_1$ в отношении $3:1$.

б) Площадь четырехугольника $AMQC$ (это трапеция):

$$S_{AMQC}=\frac{AM+QC}{2}\cdot h_{AMQC}=\frac{\frac{1}{3}CC_1+\frac{1}{4}CC_1}{2}\cdot h_{AMQC}=\frac{7}{24}CC_1\cdot h_{AMQC}$$

Где $ h_{AMQC}$ - высота трапеции, не факт, что она равна $AC$, так как в условии не написано, что призма прямая.

Площадь грани $AA_1C_1C$:

$$S_{gr}=CC_1\cdot h_{AMQC}$$

Так как это – параллелограмм.

 Таким образом, сечение разделит эту грань в отношении $(24-7):7=17:7$.

в)  Для решения этой части расположим призму иначе:

Положим призму на грань

Теперь посмотрим, из чего состоят объемы, на которые эту призму разбивает плоскость сечения. Во-первых, выделим две пирамиды: $AQCBP$ и $A_1QC_1B_1P$.

Две равные по объему пирамиды внутри призмы

У них совершенно одинаковые по площади основания (трапеции $QCBP$ и $QC_1B_1P$) и равные высоты (это расстояние от прямой $AA_1$ до плоскости $CBB_1C_1$). Поэтому их объемы $V_1$ равны.

$$V_1=\frac{1}{3}\cdot \frac{S_{osn}}{2}\cdot H=\frac{1}{6}V_{parall}$$

Но этот $V_{parall}$ - не объем призмы, а объем параллелепипеда, который мы могли бы построить на основании $CBB_1C_1$. Таким образом,

$$V_1=\frac{1}{3}V$$

Где $V$  - уже объем призмы.

Выделим еще два объема:

Еще объемы внутри исходной призмы

Найдем их таким же способом, только за основания возьмем $AMQ$ и $A_1MQ$, а высотой послужит расстояние от плоскости $AA_1C_1C$ до прямой $BB_1$:

$$V_2=V_{PQMA_1}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\frac{2S_{osn}}{3}\cdot H=\frac{1}{9}V_{parall}$$

Или

$$V_2=\frac{2}{9}V$$

$$V_3=V_{PQMA}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\frac{S_{osn}}{3}\cdot H=\frac{1}{18}V_{parall}$$

Или

$$V_3=\frac{1}{9}V$$

Таким образом, с одной стороны от сечения расположены

$$V_1+V_2=\frac{1}{3}V+\frac{2}{9}V=\frac{5}{9}V$$

А с другой стороны

$$V_1+V_3=\frac{1}{3}V+\frac{1}{9}V=\frac{4}{9}V$$

Объем призмы разделен сечением в отношении $5:4$.

Ответ: а)  точка $Q$ делит ребро $CC_1$ в отношении $3:1$; б) сечение разделит грань $ AA_1C_1C$ в отношении $17:7$; в) отношение объемов будет равно $4:5$ (нижняя часть к верхней).

 

Задача 2.

В треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ ($AA_1\parallel BB_1\parallel CC_1$) на ребре $AB$ выбрана точка $M$, $AM:MB=1:2$. На продолжении ребра $BC$ выбрана точка $K$, причем $BK:BC=3:2$. Точка $O$ - пересечение $BC_1$ и $CB_1$. Через точки $M, O$ и $K$ проведена секущая плоскость. Постройте сечение и найдите, в каком отношении секущая плоскость а) разделит ребро $CC_1$; б) разделит площадь грани $CAA_1C_1$; в) разделит объем призмы.

Решение.

Строим рисунок к задаче 2

Строим сечение: проводим $KO$, причем доводим до пересечения с $BB_1$. Пусть там точка $P$. Пусть также пересечение $KO$ с $CC_1$ - точка $N$. Далее проводим $PM$ и затем $MK$. Точка пересечения $MK$ и $AC$ - точка $Q$.  Готово.

Строим сечение

а) Точка $O$ - середина грани $BB_1C_1C$. Поэтому, если провести через точку $O$ $OH\parallel СС_1$, то $OH=\frac{1}{2}CC_1=\frac{1}{2}BB_1$.

Треугольники $PBK$, $OHK$ и $NCK$ подобны по двум углам.

$$\frac{PB}{OH}=\frac{BK}{HK}=\frac{\frac{3}{2}BC}{BC}=\frac{3}{2}$$

$$PB=\frac{3}{2}OH=\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}BB_1=\frac{3}{4}BB_1$$

Также

$$\frac{PB}{NC}=\frac{BK}{CK}=\frac{\frac{3}{2}BC}{\frac{1}{2}BC}=3$$

Откуда

$$NC=\frac{1}{4}CC_1$$

Точка $N$ делит ребро $CC_1$ в отношении $3:1$.

б) Рассмотрим треугольник $ABC$ и секущую $MK$. По теореме Менелая

$$\frac{AM}{MB}\cdot \frac{BK}{KC}\cdot \frac{CQ}{QA}=1$$

Если $AB=3y$, то $AM=y$, $MB=2y$. Если $BK=3x$, то $KC=x$, $BC=2x$.

$$\frac{y}{2y}\cdot \frac{3x}{x}\cdot \frac{CQ}{QA}=1$$

$$\frac{CQ}{QA}=\frac{2}{3}$$

Площадь грани $CAA_1C_1$ равна $S_{CAA_1C_1}=AC\cdot H$, площадь треугольника $QCN$ равна $S_{QCN}=\frac{1}{2}\cdot CQ\cdot h$,

$$S_{QCN}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{5}AC \cdot h\frac{H}{4}=\frac{1}{20} S_{CAA_1C_1}$$

То есть сечение разделит площадь грани $S_{CAA_1C_1}$ в отношении $19:1$.

в) Рассмотрим треугольник $MKB$ и секущую $AC$. По теореме Менелая

$$\frac{MQ}{QK}\cdot \frac{KC}{CB}\cdot \frac{BA}{AM}=1$$

$$\frac{MQ}{QK}\cdot \frac{x}{2x}\cdot \frac{3y}{y}=1$$

$$\frac{MQ}{QK}=\frac{2}{3}=\frac{2z}{3z}$$

Объем призмы вычислим как

$$V=S_{ABC}\cdot H$$

Объем пирамиды $MKBP$

$$V_{ MKBP}=\frac{1}{3}S_{MKB}\cdot \frac{3}{4}H$$

Объем пирамиды $NQCK$

$$V_{ NQCK}=\frac{1}{3}S_{QCK}\cdot \frac{1}{4}H$$

Посчитаем объемы как части объема призмы. Для этого нужно разобраться с площадями треугольников $MKB$ и $QCK$ - какую часть площади $ABC$ они составляют.

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}BA\cdot BC\cdot \sin B=\frac{1}{2}\cdot 3y\cdot 2x\cdot \sin B=3xy\sin B$$

$$S_{MKB}=\frac{1}{2}BK\cdot BM\cdot \sin B=\frac{1}{2}\cdot 3x\cdot 2y\cdot \sin B=4,5xy\sin B$$

Тогда $S_{MKB}=1,5 S_{ABC}$.

Также можно записать, что

$$S_{MKB}=\frac{1}{2}KM\cdot KB\cdot \sin C=\frac{1}{2}\cdot 5z\cdot 3x\cdot \sin B=7,5xz\sin C$$

$$ S_{QCK}=\frac{1}{2}KQ\cdot KC\cdot \sin C=\frac{1}{2}\cdot 2z\cdot x\cdot \sin B=xz\sin C$$

Тогда $ S_{QCK}=\frac{2}{15}S_{MKB}=0,2S_{ABC}$.

Определяем теперь все объемы. Объем пирамиды $MKBP$

$$V_{ MKBP}=\frac{1}{3}S_{MKB}\cdot \frac{3}{4}H=\frac{1}{3}\cdot 1,5S_{ABC}\cdot \frac{3}{4}H =\frac{3}{8}V$$

Объем пирамиды $NQCK$

$$V_{ NQCK}=\frac{1}{3}S_{QCK}\cdot \frac{1}{4}H=\frac{1}{3}\cdot 0,2S_{ABC}\cdot \frac{1}{4}H=\frac{1}{60}V$$

Разность этих двух объемов – это часть пирамиды $ MKBP$, заключенная в призме:

$$ V_{ MKBP}- V_{ NQCK}=\frac{3}{8}V-\frac{1}{60}V=\frac{43}{120}V$$

Получается, плоскость сечения разобьет объем призмы в отношении $43:77$.

Ответ: а)  точка $N$ делит ребро $CC_1$ в отношении $3:1$; б) сечение разделит грань $ AA_1C_1C$ в отношении $19:1$; в) отношение объемов будет равно $43:77$ (меньшая часть к большей).