Две интересные стереометрические задачи

В этой статье я привела решения двух задач по стереометрии. Задачи принес ученик, поэтому источника не знаю.

Задача 1.

Дана треугольная пирамида $MABC$ с основанием $ABC$, в которой $AB=13$, $BC=14$, $AC=15$. Расстояния от точки $M$ до $AB$, $BC$ и  $AC$ одинаково и равно 5. Найти радиус вписанной в эту пирамиду сферы.

Решение. Воспользуемся довольно редко используемым, но очень полезным соотношением:

$$r=\frac{3V}{S}$$

Где $r$ - радиус вписанной сферы, $V$ - объем пирамиды, $S$ - аолная площадь поверхности пирамиды.

Начнем с полной поверхности пирамиды. Расстояния от точки $ M$ до $AB$, $BC$ и  $AC$ - не что иное, как длина апофем. Поэтому площадь боковой поверхности пирамиды

$$S_{bok}=\frac{AB\cdot d}{2}+\frac{BC\cdot d}{2}+\frac{AC\cdot d}{2}=p\cdot d=\frac{13+14+15}{2}\cdot5=105$$

Площадь основания определим по формуле Герона:

$$S_{ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}= \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}= \sqrt{3\cdot7\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=7 \cdot 3 \cdot 4=84$$

Полная площадь поверхности пирамиды равна

$$S= S_{bok}+ S_{ABC}=105+84=189$$

Так как апофемы одинаковы, то центр пирамиды проецируется в центр вписанной в основание пирамиды окружности (треугольники $MOF$, $MOD$, $MEO$ равны по гипотенузе и катету). Радиус этой вписанной окружности

$$r_o=OF=OE=OD=\frac{ S_{ABC}}{p}=4$$

Рисунок к первой задаче

Таким образом, высота пирамиды $MO$ может быть найдена как

$$MO=\sqrt{MF^2-OF^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$$

Определяем объем пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}\cdot MO\cdot S_{ABC}=\frac{1}{3}\cdot 3\cdot 84=84$$

И, наконец, можем найти радиус вписанной сферы:

$$r=\frac{3V}{S}=\frac{3\cdot84}{189}=\frac{4}{3}$$

Ответ: $r=\frac{4}{3}$.

Задача 2.

В правильной четырехугольной пирамиде центр вписанной в нее сферы делит высоту в отношении $m:n$, считая от вершины. Найти угол между боковыми гранями.

Рисунок ко второй задаче

Решение. Если сфера вписана в пирамиду, то она касается всех ее граней. Рассмотрим осевое сечение пирамиды.

Осевое сечение

Треугольники $SOH$ и $SPK$ подобны. Пусть сторона основания пирамиды $a$, высота - $H$. Тогда $OH=\frac{a}{2}$,

$$SH=\sqrt{SO^2+OH^2}$$

Для указанных подобных треугольников составим отношение сходственных сторон:

$$\frac{PK}{PS}=\frac{OH}{SH}$$

Перепишем с четом $PO=PK$:

$$\frac{PO}{PS}=\frac{n}{m}=\frac{OH}{SH}$$

$$\frac{n}{m}=\frac{\frac{a}{2}}{\sqrt{H^2+\frac{a^2}{4}}}$$

Теперь поработаем с этим равенством, выразим из него высоту пирамиды.

$$\frac{n^2}{m^2}=\frac{\frac{a^2}{4}}{H^2+\frac{a^2}{4}}$$

$$ H^2+\frac{a^2}{4}=\frac{m^2 a^2}{4n^2}$$

$$ H^2=\frac{m^2 a^2}{4n^2}-\frac{a^2}{4}$$

$$ H^2=\frac{a^2}{4}\left(\frac{m^2}{n^2}-1\right)$$

Определим площадь боковой грани, например, $CSB$.

$$S_{CSB}=\frac{a\cdot SH}{2}$$

$$SH^2=\frac{a^2}{4}+H^2$$

$$S_{CSB}=\frac{a}{2}\cdot \sqrt{\frac{a^2}{4}+H^2}=\frac{a}{2}\cdot \sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}\left(\frac{m^2}{n^2}-1\right)}$$

$$S_{CSB}=\frac{a}{2}\cdot\sqrt{\frac{m^2 a^2}{4n^2}}=\frac{a}{2}\cdot\frac{m a}{2n}=\frac{a^2m}{4n}$$

Теперь, чтобы найти угол между гранями – угол $DLB$ - рассмотрим треугольник $DLB$. Нам понадобится рассчитать его по теореме косинусов, а для этого надо знать его сторону $DL$. $DL$ - высота, проведенная в грани $DSC$ к $SC$. Найдем ее через площадь боковой грани, которую мы нашли ранее. В треугольнике $SOC$ $SC$:

$$SC^2=H^2+\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2$$

$$SC=\sqrt{\frac{a^2}{4}\left(\frac{m^2}{n^2}-1\right)+ \frac{a^2}{2}}=\sqrt{\frac{a^2}{4}\left(\frac{m^2}{n^2}-1\right)}$$

Теперь определим $DL$:

$$2S_{DSC}=\frac{a^2m}{2n}=DL\cdot SC$$

$$DL=\frac{\frac{a^2m}{2n}}{\sqrt{\frac{a^2}{4}\left(\frac{m^2}{n^2}-1\right)}}$$

$$DL=\frac{am}{n\sqrt{\left(\frac{m^2}{n^2}-1\right)}}=\frac{am}{\sqrt{m^2-n^2}}$$

Наконец, для расчета собственно угла применяем к треугольнику $DBL$ теорему косинусов:

$$DB^2=2DL^2-2DL^2\cos\alpha$$

$$(a\sqrt{2})^2=\frac{2a^2 m^2}{m^2-n^2}\cdot(1-\cos\alpha)$$

$$1 -\cos\alpha=\frac{m^2-n^2}{m^2}=1-\frac{n^2}{m^2}$$

$$ \cos\alpha=\frac{n^2}{m^2}$$

Ответ: $\alpha=\arccos\left(\frac{n^2}{m^2}\right)$