Стереометрия (13(С2))

Задача, в которой про параллелепипед известно не очень много, и которая, тем не менее, решается двумя способами.

Задача. Имеется прямоугольный параллелепипед, про который известно, что

И что диагональ параллелепипеда равна . Найти объем параллелепипеда.

Решение. Первый способ.

Пусть ребра параллелепипеда . Тогда

И

То есть

Еще раз преобразуем:

Или

Получается, что

Откуда $a=12;...

Сегодня рассмотрим несколько задач, где необходимо найти расстояние от точки до плоскости. Для этого будем использовать метод координат.

Задача 1.

В правильной четырехугольной призме со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре взята точка так, что . На ребре...

Сегодня рассмотрим несколько задач, где необходимо найти расстояние от точки до плоскости. Для этого будем использовать метод объемов.

Задача 1.

Высота правильной четырехугольной призмы равна 8, а сторона основания равна . Найдите расстояние от вершины до плоскости .

Решение:

[caption id="attachment_8846" align="aligncenter" width="496"] К...

Сегодня попробуем построить наиболее сложное сечение, когда точки, принадлежащие ему, лежат в гранях параллелепипеда, а не на его ребрах.

Задача. Дан параллелепипед и точки в его гранях. Точка принадлежит нижней грани , точка - грани , точка -...

Рассмотрим задачи по определению площадей поверхностей тел, полученных вращением плоских фигур. Оказывается, такие интересные могут получится тела вращения, если вращать прямоугольники и трапеции!

Задача 1.

  Фигура, заданная на плоскости системой неравенств, вращается вокруг оси .

При каком значении объем...

Обе задачи очень интересные. Взяты из пособия В.В. Мирошина "ЕГЭ 2018. Тренировочные задания" - первая из варианта 4, вторая - из 27.

Задача 1.

Основанием пирамиды   является параллелограмм . Точки  , и расположены на ребрах соответственно, и при этом

frac{SK}{SA}=frac{1}{3}, frac{SL}{SB}=frac{1}{4},...

Часть задач я взяла из книги Сергеева и Панферова "Задания части 2", одна же из задач - из сертификационного экзамена для репетиторов. Все задачи объединены одной темой: везде присутствует сфера или шар.

Задача 1.

В правильной пирамиде  с высотой 4 сторона основания  равна 6....

Название статьи говорит само за себя. Представляю решения задач из указанной книги. Продолжение следует...

Задача 1.

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды вдвое больше ее высоты. Найдите отношение радиуса вписанной  в пирамиду сферы к апофеме пирамиды.

[caption id="attachment_5836" align="aligncenter" width="743"]

Название статьи говорит само за себя. Представляю решения задач из указанной книги. Продолжение следует...

Задача 1.

Найдите высоту пирамиды, основанием которой служит треугольник со сторонами 7, 8 и 9, если ее боковые ребра наклонены к основанию под углом .Определим площадь основания пирамиды по формуле Герона.

Радиус описанной...

Название статьи говорит само за себя. Представляю решения задач из указанной книги. Продолжение следует...

Задача 1.

Найдите сторону основания правильной треугольной пирамиды объемом 36, если ее высота вдвое больше радиуса окружности, описанной около основания.

Объем пирамиды определяется формулой:

- площадь основания, так как в основании –...

В статье предложены решения некоторых задач на объемы вписанных и описанных конусов, сфер, пирамид, а также на определение по данному объему длины основания призмы или наоборот, объема по данной площади сечения.

Задача 1.

В правильную шестиугольную пирамиду с высотой Н вписан один конус, а около нее...

Задачу прислала ученица, которая с ней не справилась. Построение сечений пирамид у многих вызывает затруднения, особенно если пирамида шестиугольная. Поэтому очень советую посмотреть статьи на эту тему: построение сечения шестиугольной пирамиды, построение сечения четырехугольной пирамиды, сложные случаи построения сечений.

Задача. Дана правильная шестиугольная...

В этой статье будем определять различные расстояния: от точки до плоскости, между прямыми, и даже будем определять кратчайшее расстояние от точки до точки по поверхности куба.

Задача 1.

В основании прямой треугольной призмы с боковым ребром лежит прямоугольный треугольник  с катетами ...

Если сечение сложной формы, то не стоит пытаться найти его площадь "в лоб". Умный гору обойдет... И мы обойдем: определим площадь проекции сечения (обычно это очень просто) и угол наклона плоскости сечения к плоскости основания. Потом воспользуемся известной формулой. Но об этом - дальше.

Задача 1.

...

Стереометрическая задача, какие часто встречаются во всякого рода сборниках. Предлагаю решение этой задачи несколькими способами – выбирайте на вкус!

На ребре прямоугольного параллелепипеда взята точка так, что . Точка - середина ребра . Известно, что , , .

а) Докажите, что плоскость ...

Задачка попалась не то чтоб сложная, а объемная. И много всего пришлось для ее решения применить и вспомнить, всяких полезных теорем и формул, поэтому привожу решение. Полезная очень задачка.

Задача. На ребрах , и правильного тетраэдра с ребром 1 взяты такие точки ,...

Задача, предложенная в статье, решена несколькими способами. На экзамене надо выбирать тот, который вам кажется наиболее простым, но владеть нужно уметь всеми.

Задача. Сечением прямоугольного параллелепипеда плоскостью , содержащей прямую и параллельной прямой , является ромб.

Докажите, что грань - квадрат.

Найдите угол между плоскостями...

На просторах инета попалась стереометрическая задача, интересная тем, что шестиугольная  пирамида в ней не является правильной по условию - про правильность пирамиды в условии не говорится. Оба предложенных способа решения показались мне интересными.

Задача. Основание шестиугольной пирамиды - правильный шестиугольник .  Точка - середина...

В этой статье приведено несколько примеров пошагового построения сечения правильной шестиугольной призмы методом следов. Иногда к методу следов был взят в помощь аксиоматический метод. Я старалась избегать пользоваться методом внутреннего проецирования намеренно, чтобы показать построение именно методом следов.

Задача 1.

Построить методом следов  сечение шестиугольной призмы...

Решим задачу. Задачка попалась не совсем стандартная, с заковыринкой – но такие и есть самые интересные.

В правильном тетраэдре  на ребре выбрана точка , такая, что  , а на ребре выбрана точка , причем .

а) постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки M,...

Сегодня научимся строить сечения четырехугольной правильной пирамиды. Использовать для построения будем метод следов. Пользоваться этим методом  неудобно и даже иногда невозможно, когда сечение имеет малый наклон или не имеет наклона к плоскости основания. Если такой случай вам попадется, лучше использовать метод внутреннего проецирования.

Задача 1.

...

Построение сечения методом следов - это поэтапное отыскание точек, принадлежащих одной и той же плоскости грани и одновременно плоскости сечения, то есть прямым, проходящим через точки, принадлежащие сечению. Метод подходит для использования тогда, когда следы секущей плоскости и прямые граней многогранника пересекаются в области чертежа,...

Здравствуйте, друзья! В этой статье предложено рассмотреть два случая построения сечения шестиугольной пирамиды. Пирамида всегда "рассекается" сложнее, чем призма, а чем больше у нее углов в основании, тем труднее. В первой задаче я постаралась пользоваться методом следов, а во второй  - преимущественно использован метод внутреннего...

Всем привет, давайте поработаем? Освоим метод внутреннего проецирования при построении сечений различных объемных фигур. Вообще построить сечение можно следующими методами: аксиоматическим, методом следов, методом внутреннего проецирования.

Аксиоматический метод применяется чаще всего, когда плоскость задана неявно (например, одной точкой или одной прямой и условием: построить плоскость через...

В этой статье будут рассмотрены случаи построения сечений через точки, принадлежащие граням пирамиды, а не ее ребрам, точки, лежащие вне пирамиды - например, принадлежащие какой-либо прямой, лежащей в одной из плоскостей граней, но не пересекающей грань, или случаи построения сечения плоскостью, проходящей параллельно ребру или...

В этой статье мы построим несколько сечений треугольной пирамиды, будем при этом использовать метод следов. Сначала мы рассмотрим самые простые случаи: когда точки, через которые должно пройти сечение, принадлежат ребрам пирамиды. Потом - случаи сложнее, когда одна или две из точек плоскости сечения принадлежат граням...

Цилиндры, сферы и конусы: будем вписывать их в другие объекты, будем рассекать их различными плоскостями, отыскивать углы наклона этих сечений к основанию или их площади.

Задача 1.

В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней...

В статье рассмотрены стереометрические задачи повышенной сложности, в которых надо определить площади сечений и углы между прямыми и плоскостями.

Задача 1.

В правильной шестиугольной пирамиде с вершиной S боковая сторона вдвое больше стороны основания.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины ребер и и...

В статье представлены задачи, решенные "классическим" способом: поэтапно-расчетным. Многие задачи таким способом решаются проще, чем если бы мы захотели вводить систему координат. Каждый раз нужно выбирать, что применить проще и выгоднее по времени.

Задача 1.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна...

Задача. В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой и плоскостью .

Решение. В этой задаче я сразу решила воспользоваться координатным способом решения. Если рационально ввести систему координат, здесь могут получиться очень простые коэффициенты плоскости, а уж найти...

Задача 1. В прямоугольном параллелепипеде  известны длины ребер , , . Точка К – середина ребра .

а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку В перпендикулярно прямой АК, пересекает отрезок .

б) Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью .

[caption id="attachment_4043" align="aligncenter" width="500"] у которого АВ=4, ВС=6, ,  найдите тангенс угла между плоскостями и .

Очевидно, что, раз плоскости и параллельны, то можно найти тангенс угла между плоскостями и .

[caption id="attachment_3630" align="alignleft" width="273"], все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми  и .

Призма и секущая плоскость

Так как прямые   и...

Диаметр основания цилиндра равен 8, а длина его образующей - . На окружности верхнего основания цилиндра выбраны точки F и D, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1:2. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей через точки F, D и центр нижнего основания.

На...