Простая физика
Стереометрия (14)
Категория:
Стереометрия (14)Задача про четыре сферы
Задача про сферы.
На сфере радиусом 6 выбраны такие три точки $A, B$ и $C$, что они образуют правильный треугольник со стороной 3. Каждая из выбранных точек является центром сферы радиуса 1.
а) Найдите радиус сферы, которая расположена вне большой и касается при этом всех четырех...
Категория:
Стереометрия (14)Две задачи, в которых плоскость сечет призму
Задача 1.
В треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ ($AA_1\parallel BB_1\parallel CC_1$) на ребре $AB$ выбрана точка $M$, $AM:AB=1:3$. На продолжении ребра $BC$ выбрана точка $K$, причем $KC:BC=1:2$. Точка $O$ - пересечение $BC_1$ и $CB_1$. Через точки $M, O$ и $K$ проведена секущая плоскость. Постройте сечение и найдите,...
Категория:
Стереометрия (14)Задачи с пирамидами
Задача 1.
В основании пирамиды $ABCDS$ лежит равнобедренная трапеция $ABCD$, основания которой $BC$ и $AD$. Вершина пирамиды $S$ равноудалена от точек $A$ и $B$, а двугранные углы при ребрах $AB$ и $CD$ равны.
а) Докажите, что все боковые ребра пирамиды равны;
б) Найдите объем пирамиды $ABCDS$, если...
Категория:
Стереометрия (14)Стереометрические близнецы
Близнецы - потому что похожи задачки.
Задача 1.
На ребре $SC$ пирамиды $SABC$ взяты точки $F$ и $E$, причем $SF:FE:EC=1:3:2$. Через точку $E$ проведена плоскость $\alpha$ параллельно плоскости $ABF$.
а) Докажите, что объемы многогранников, на которые разбивают пирамиду плоскости $ABF$ и $\alpha$, относятся как $8:25:117$;
б) Найдите угол...
Категория:
Стереометрия (14)Несложная, но интересная задачка по стереометрии
Задача.
Ребро основания правильной пирамиды $SABC$ равно 4. Точки $M$ и $K$ - середины ее боковых ребер $AS$ и $BS$. Известно, что прямые $BM$ и $CK$ перпендикулярны друг другу.
а) Найдите длину отрезка $CK$;
б) Найдите площадь сечения пирамиды, проходящего через прямую $BM$ параллельно прямой $CK$.
Решение. Сделаем...
Категория:
Стереометрия (14)Теорема Менелая для тетраэдра
В подобранных мною задачах применим теорему Менелая для тетраэдра.
Теорема Менелая в тетраэдре
$$\frac{AA_1}{A_1B}\cdot \frac{BB_1}{B_1C}\cdot\frac{CC_1}{C_1D}\cdot \frac{DD_1}{D_1A}=1$$
Это равенство выполняется, если, конечно, точки $A_1, B_1, C_1$ и $D_1$ принадлежат одной плоскости.
Задача 1. Дан тетраэдр...
Категория:
Стереометрия (14)Метод индексов для решения задач стереометрии - 2
Продолжим рассматривать задачи, решаемые этим методом.
Задача 4.
В основании усеченной пирамиды $ABCA_1B_1C_1$ лежит треугольник $ABC$. Известно, что $A_1B_1:AB=3:5$. На ребрах $AA_1$ и $BC$ взяты точки $K$ и $P$ соответственно, причем $A_1K:KA=1:2$, $BP:PC=3:2$. Найдите, в каком отношении плоскость $KPC_1$ делит ребро $AB$.
Категория:
Стереометрия (14)Метод индексов для решения задач стереометрии-1
Сегодня мы познакомимся с очень интересным методом решения задач, который называется «метод индексов» или «метод степени точки». Он применяется в задачах, где плоскость сечет какое-нибудь объемное тело, и нужно найти, в каком отношении она будет делить одно из ребер, например.
Обратимся к теории. Рассмотрим прямую, которая...
Категория:
Стереометрия (14)Хитрая задача про параллелепипед
Задача, в которой про параллелепипед известно не очень много, и которая, тем не менее, решается двумя способами.
Задача.
Имеется прямоугольный параллелепипед, про который известно, что $$3AB+4BC+10AA_1=500$$ И что диагональ параллелепипеда равна $BD_1=20\sqrt{5}$. Найти объем параллелепипеда.
Решение. Первый способ. Пусть ребра параллелепипеда $a,b,c$. Тогда $$3a+4b+10c=500$$ И $$a^2+b^2+c^2=(20\sqrt{5})^2$$ То...
Категория:
Стереометрия (14)Расстояние от точки до плоскости - метод координат
Сегодня рассмотрим несколько задач, где необходимо найти расстояние от точки до плоскости. Для этого будем использовать метод координат.
Задача 1.
В правильной четырехугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре $AA_1$ взята точка $M$ так, что $AM = 8$ . На...
Категория:
Стереометрия (14)Определение расстояния от точки до плоскости с помощью объемов
Сегодня рассмотрим несколько задач, где необходимо найти расстояние от точки до плоскости. Для этого будем использовать метод объемов.
Задача 1.
Высота правильной четырехугольной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна 8, а сторона основания равна $6\sqrt{2}$. Найдите расстояние от вершины $A$ до плоскости $A_1BD$.
Решение:
...
Категория:
Стереометрия (14)Определение расстояния между скрещивающимися прямыми координатным способом (с определителем)
Предлагаю вашему вниманию несколько задач по стереометрии на определение расстояния между скрещивающимися прямыми координатным способом. Будем пользоваться определителями для расчета.
Задача 1.
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка $O_1$ — центр квадрата $ABCD$, точка $O_2$ — центр квадрата $CC_1D_1D$.
а) Докажите, что прямые $A_1O_1$ и $B_1O_2$ скрещиваются.
б) Найдите расстояние между прямыми $A_1O_1$ и $B_1O_2$ , если ребро куба равно 1.
а) Решение. Прямая $A_1O_1$ лежит в плоскости $ACA_1C_1$ ,...
Категория:
Стереометрия (14)Пирамида-2
Решение задач по стереометрии в общем виде – это наиболее трудно. Когда возможно провести промежуточные вычисления – всегда бывает проще. Но в трудностях как раз и закрепляются знания.
Задача 1.
В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна $a$, высота равна $H$. Найдите: а) боковое ребро...
Категория:
Стереометрия (14)Пирамида
В этой статье решим несколько стереометрических задач.
Задача 1.
Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция с основаниями 6 см и $4\sqrt{6}$ см и высотой 5 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Найдите ее высоту.
Решение. Очевидно, что все боковые стороны пирамиды – равнобедренные треугольники. В...
Категория:
Стереометрия (14)Две интересные стереометрические задачи
В этой статье я привела решения двух задач по стереометрии. Задачи принес ученик, поэтому источника не знаю.
Задача 1.
Дана треугольная пирамида $MABC$ с основанием $ABC$, в которой $AB=13$, $BC=14$, $AC=15$. Расстояния от точки $M$ до $AB$, $BC$ и $AC$ одинаково и равно 5. Найти...
Категория:
Стереометрия (14)Теорема Менелая при решении задачи 14
Теорема Менелая – прекрасное дополнение к вашему техническому арсеналу для решения задач ЕГЭ по стереометрии. Она позволяет найти отношение, в котором точка делит отрезок, легко и непринужденно, в одно действие. Попробуем применить ее для решения стереометрических задач.
Задача 1.
Точка $M$ лежит на ребре $AB$...
Категория:
Стереометрия (14)Расстояние между скрещивающимися прямыми - 3
Задачи на определение расстояния между двумя скрещивающимися прямыми – самые сложные, пожалуй, из всех задач по стереометрии. Предлагаю короткую серию статей, где ряд таких задач будет решен различными способами – классикой, координатным, методом объемов.
Задача 1.
В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона $AB=5, SA=3$. На...
Категория:
Стереометрия (14)Расстояние между скрещивающимися прямыми - 2
Задачи на определение расстояния между двумя скрещивающимися прямыми – самые сложные, пожалуй, из всех задач по стереометрии. Предлагаю короткую серию статей, где ряд таких задач будет решен различными способами – классикой, координатным, методом объемов. Это - вторая статья серии.
Задача 1.
Дана пирамида $SABC$, в...
Категория:
Стереометрия (14)Расстояние между скрещивающимися прямыми - 1
Задачи на определение расстояния между двумя скрещивающимися прямыми – самые сложные, пожалуй, из всех задач по стереометрии. Предлагаю короткую серию статей, где ряд таких задач будет решен различными способами – классикой, координатным, методом объемов.
Задача 1.
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все ребра равны двум....
Категория:
Стереометрия (14)Уравнение плоскости, перпендикулярной вектору
Несколько задач на получение уравнения плоскости.
Задача 1. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, про него известно, что $AB=5; DC=12; AA_1=14$. Задача: получить уравнение плоскости, проходящей через точку $B$ и перпендикулярной вектору $\vec{BD_1}$.
...
Категория:
Стереометрия (14)Пошаговое построение сечения параллелепипеда через точки, лежащие в гранях.
Сегодня попробуем построить наиболее сложное сечение, когда точки, принадлежащие ему, лежат в гранях параллелепипеда, а не на его ребрах.
Задача. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и точки $T, U , V$ в его гранях. Точка $U$ принадлежит нижней грани $A_1B_1C_1D_1$, точка $V$ - грани $AA_1B_1B$, точка $T$ -...
Категория:
Стереометрия (14)Тела вращения, образованные поворотом плоских фигур
Рассмотрим задачи по определению площадей поверхностей тел, полученных вращением плоских фигур. Оказывается, такие интересные могут получится тела вращения, если вращать прямоугольники и трапеции!
Задача 1.
Фигура, заданная на плоскости системой неравенств, вращается вокруг оси $Ox$.
$$\begin{Bmatrix}{ x^2+y^2\geqslant r^2}\\{ x+y\leqslant 2r}\\{ x\geqslant 0}\\{y\geqslant 0}\\{r>0}\end{matrix}$$
При каком значении $r$...
Категория:
Стереометрия (14)Стереометрия: две задачи с применением теоремы Менелая.
Обе задачи очень интересные. Взяты из пособия В.В. Мирошина "ЕГЭ 2018. Тренировочные задания" - первая из варианта 4, вторая - из 27.
Задача 1.
Основанием пирамиды $SABCD$ является параллелограмм $ABCD$. Точки $K$, $L$ и $M$ расположены на ребрах $SA, SB, SC$ соответственно, и при этом
$$\frac{SK}{SA}=\frac{1}{3},...
Категория:
Стереометрия (14)Стереометрия: сферы в различных задачах
Часть задач я взяла из книги Сергеева и Панферова "Задания части 2", одна же из задач - из сертификационного экзамена для репетиторов. Все задачи объединены одной темой: везде присутствует сфера или шар.
Задача 1.
В правильной пирамиде $SABCD$ с высотой 4 сторона основания $SABC$ равна...
Категория:
Стереометрия (14)Задачи из книги Сергеева, Панферова "Математика. Профильный уровень. Задания части 2". Стереометрия-3
Название статьи говорит само за себя. Представляю решения задач из указанной книги. Продолжение следует...
Задача 1.
Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды вдвое больше ее высоты. Найдите отношение радиуса вписанной в пирамиду сферы к апофеме пирамиды.
...
Категория:
Стереометрия (14)Задачи из книги Сергеева, Панферова "Математика. Профильный уровень. Задания части 2". Стереометрия-2
Название статьи говорит само за себя. Представляю решения задач из указанной книги. Продолжение следует...
Задача 1.
Найдите высоту пирамиды, основанием которой служит треугольник со сторонами 7, 8 и 9, если ее боковые ребра наклонены к основанию под углом $60^{\circ}$.Определим площадь основания пирамиды по формуле Герона.
$$S=\sqrt{p(p-a)(p-a)(p-c)}=\sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)}=12\sqrt{5}$$
Радиус...
Категория:
Стереометрия (14)Задачи из книги Сергеева, Панферова "Математика. Профильный уровень. Задания части 2". Стереометрия-1
Название статьи говорит само за себя. Представляю решения задач из указанной книги. Продолжение следует...
Задача 1.
Найдите сторону основания правильной треугольной пирамиды объемом 36, если ее высота вдвое больше радиуса окружности, описанной около основания.
Объем пирамиды определяется формулой:
$$V=\frac{1}{3}h\cdot S$$
$S$ - площадь основания, так как в основании...
Категория:
Стереометрия (14)Стереометрия: объемы вписанных и описанных тел
В статье предложены решения некоторых задач на объемы вписанных и описанных конусов, сфер, пирамид, а также на определение по данному объему длины основания призмы или наоборот, объема по данной площади сечения.
Задача 1.
В правильную шестиугольную пирамиду с высотой Н вписан один конус, а около...
Категория:
Стереометрия (14)Несложная стереометрическая задачка с шестиугольной пирамидой
Задачу прислала ученица, которая с ней не справилась. Построение сечений пирамид у многих вызывает затруднения, особенно если пирамида шестиугольная. Поэтому очень советую посмотреть статьи на эту тему: построение сечения шестиугольной пирамиды, построение сечения четырехугольной пирамиды, сложные случаи построения сечений.
Задача....
Категория:
Стереометрия (14)Стереометрия: расстояние от точки до плоскости и другие задачи
В этой статье будем определять различные расстояния: от точки до плоскости, между прямыми, и даже будем определять кратчайшее расстояние от точки до точки по поверхности куба.
Задача 1.
В основании прямой треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ с боковым ребром $AA_1=\sqrt{2}$ лежит прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AC =...
Категория:
Стереометрия (14)Стереометрия. Площадь сечения через площадь проекции сечения.
Если сечение сложной формы, то не стоит пытаться найти его площадь "в лоб". Умный гору обойдет... И мы обойдем: определим площадь проекции сечения (обычно это очень просто) и угол наклона плоскости сечения к плоскости основания. Потом воспользуемся известной формулой. Но об этом - дальше.
Задача...
Категория:
Стереометрия (14)Разные способы решения стереометрической задачи
Стереометрическая задача, какие часто встречаются во всякого рода сборниках. Предлагаю решение этой задачи несколькими способами – выбирайте на вкус!
На ребре $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ взята точка $E$ так, что $A_1E=6EA$. Точка $T$ - середина ребра $B_1C_1$. Известно, что $AB=4\sqrt{2}$, $AD=12$, $AA_1=14$.
а) Докажите, что плоскость $ETD_1$...
Категория:
Стереометрия (14)Стереометрия: координатно-векторный способ и теорема Менелая
Задачка попалась не то чтоб сложная, а объемная. И много всего пришлось для ее решения применить и вспомнить, всяких полезных теорем и формул, поэтому привожу решение. Полезная очень задачка.
Задача. На ребрах $AB$, $BC$ и $CD$ правильного тетраэдра $ABCD$ с ребром 1 взяты такие точки $K$,...
Категория:
Стереометрия (14)Стереометрия: три способа решения
Задача, предложенная в статье, решена несколькими способами. На экзамене надо выбирать тот, который вам кажется наиболее простым, но владеть нужно уметь всеми.
Задача. Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $BD_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.
Докажите, что грань $ABCD$ - квадрат.
Найдите угол между плоскостями...
Категория:
Стереометрия (14)Два красивых способа решения одной стереометрической задачи
На просторах инета попалась стереометрическая задача, интересная тем, что шестиугольная пирамида в ней не является правильной по условию - про правильность пирамиды в условии не говорится. Оба предложенных способа решения показались мне интересными.
Задача. Основание шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ - правильный шестиугольник $ABCDEF$. Точка $M$ - середина...
Категория:
Стереометрия (14)Пошаговое построение сечения шестиугольной призмы
В этой статье приведено несколько примеров пошагового построения сечения правильной шестиугольной призмы методом следов. Иногда к методу следов был взят в помощь аксиоматический метод. Я старалась избегать пользоваться методом внутреннего проецирования намеренно, чтобы показать построение именно методом следов.
Задача 1.
Построить методом следов сечение шестиугольной...
Категория:
Стереометрия (14)Стереометрическая задача из пробника г.Уфы
Решим задачу. Задачка попалась не совсем стандартная, с заковыринкой – но такие и есть самые интересные.
В правильном тетраэдре $ABCD$ на ребре $DC$ выбрана точка $M$, такая, что $DM:MC=1:2$, а на ребре $DB$ выбрана точка $N$, причем $BN:ND=1:2$.
а) постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки M,...
Категория:
Стереометрия (14)Пошаговое построение сечения четырехугольной пирамиды
Сегодня научимся строить сечения четырехугольной правильной пирамиды. Использовать для построения будем метод следов. Пользоваться этим методом неудобно и даже иногда невозможно, когда сечение имеет малый наклон или не имеет наклона к плоскости основания. Если такой случай вам попадется, лучше использовать метод внутреннего проецирования.
Категория:
Стереометрия (14)Пошаговое построение сечения параллелепипеда
Построение сечения методом следов - это поэтапное отыскание точек, принадлежащих одной и той же плоскости грани и одновременно плоскости сечения, то есть прямым, проходящим через точки, принадлежащие сечению. Метод подходит для использования тогда, когда следы секущей плоскости и прямые граней многогранника пересекаются в области чертежа,...
Категория:
Стереометрия (14)Построение сечения шестиугольной пирамиды
Здравствуйте, друзья! В этой статье предложено рассмотреть два случая построения сечения шестиугольной пирамиды. Пирамида всегда "рассекается" сложнее, чем призма, а чем больше у нее углов в основании, тем труднее. В первой задаче я постаралась пользоваться методом следов, а во второй - преимущественно использован метод внутреннего...
Категория:
Стереометрия (14)Метод внутреннего проецирования
Всем привет, давайте поработаем? Освоим метод внутреннего проецирования при построении сечений различных объемных фигур. Вообще построить сечение можно следующими методами: аксиоматическим, методом следов, методом внутреннего проецирования.
Аксиоматический метод применяется чаще всего, когда плоскость задана неявно (например, одной точкой или одной прямой и условием: построить плоскость через...
Категория:
Стереометрия (14)Сложные случаи построения сечения треугольной пирамиды.
В этой статье будут рассмотрены случаи построения сечений через точки, принадлежащие граням пирамиды, а не ее ребрам, точки, лежащие вне пирамиды - например, принадлежащие какой-либо прямой, лежащей в одной из плоскостей граней, но не пересекающей грань, или случаи построения сечения плоскостью, проходящей параллельно ребру или...
Категория:
Стереометрия (14)Пошаговое построение сечения: треугольная пирамида.
В этой статье мы построим несколько сечений треугольной пирамиды, будем при этом использовать метод следов. Сначала мы рассмотрим самые простые случаи: когда точки, через которые должно пройти сечение, принадлежат ребрам пирамиды. Потом - случаи сложнее, когда одна или две из точек плоскости сечения принадлежат граням...
Категория:
Стереометрия (14)Тела вращения: задача 14 профильного ЕГЭ
Цилиндры, сферы и конусы: будем вписывать их в другие объекты, будем рассекать их различными плоскостями, отыскивать углы наклона этих сечений к основанию или их площади.
Задача 1.
В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех...
Категория:
Стереометрия (14)Стереометрия. Призмы и пирамиды
В статье рассмотрены стереометрические задачи повышенной сложности, в которых надо определить площади сечений и углы между прямыми и плоскостями.
Задача 1.
В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ с вершиной S боковая сторона вдвое больше стороны основания.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины ребер $SA$ и $SD$...
Категория:
Стереометрия (14)Стереометрия. Решение задачи 14.
В статье представлены задачи, решенные "классическим" способом: поэтапно-расчетным. Многие задачи таким способом решаются проще, чем если бы мы захотели вводить систему координат. Каждый раз нужно выбирать, что применить проще и выгоднее по времени.
Задача 1.
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания...
Категория:
Стереометрия (14)Стереометрическая задача с изюминкой
Задача. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой $AC_1$ и плоскостью $BCC_1$.
Решение. В этой задаче я сразу решила воспользоваться координатным способом решения. Если рационально ввести систему координат, здесь могут получиться очень простые коэффициенты плоскости, а уж найти...
Категория:
Стереометрия (14)Координатно-векторный способ решения стереометрических задач
Задача 1. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны длины ребер $AA_1=7$, $AB=16$, $AD=6$. Точка К – середина ребра $C_1D_1$.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку В перпендикулярно прямой АК, пересекает отрезок $A_1K$.
б) Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью $ABC$.
...
Категория:
МатематикаЗадача 14 - стереометрия. Профиль.
Задача 1. В прямоугольном параллелепипеде у которого АВ=4, ВС=6, , найдите тангенс угла между плоскостями и
Категория:
МатематикаСтереометрия. Задача 14. Призмы и пирамиды.
Задача 1. В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми и .
...
Категория:
Стереометрия (14)Непростая задача о площади сечения цилиндра, которая может ввести в заблуждение.
Диаметр основания цилиндра равен 8, а длина его образующей - . На окружности верхнего основания цилиндра выбраны точки F и D, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1:2. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей через...