Разделы сайта

Рекомендую

БИБЛИОТЕКА КАЛЬКУЛЯТОРЫ и ГРАФИКИ EGE-OK РЕШУ ЕГЭ - Физика РЕШУ ЕГЭ - Математика Тренировочные варианты AlexLarin.com
🏠 Главная ▫️ Категории ▫️ Математика ▫️ ЕГЭ профиль ▫️ Уравнения (13) ▫️ Уравнения из ЕГЭ прошлых лет. Задание 15.

Категория:

Уравнения (13) ...

Уравнения из ЕГЭ прошлых лет. Задание 15.

16.05.2015 12:04:19 | Автор: Анна

И еще немного уравнений!  Рассмотрим уравнения из заданий  С1 ЕГЭ 2013. Все они разные, есть очень простые, есть посложнее, с логарифмами и с модулями.

Задание 1. Решить уравнение: 3^x+4^x=25

 

Уравнение очень просто и быстро решается подбором, только для подобранного корня (или корней) должны быть основания. А именно: слева сумма двух возрастающих функций – то есть также возрастающая функция, а справа – прямая, параллельная оси х. Таким образом, пересечение может быть только одно, то есть корень единственен. Дальше просто подбираем решение: x=2.

Ответ: 2.

Задание 2. Решить уравнение: 4^{sqrt{x+1}}+4^{sqrt{x+1}-1}=4^{sqrt{x+1}+1}-11

 

В этом уравнении хорошо видна одна и та же степень, 4^{sqrt{x+1}}, давайте добьемся, чтобы везде степень была бы одинаковой, и затем вытащим ее за скобку:

4^{sqrt{x+1}}+{1/4}*4^{sqrt{x+1}}=4*4^{sqrt{x+1}}-11

4^{sqrt{x+1}}+{1/4}*4^{sqrt{x+1}}-4*4^{sqrt{x+1}}=-11

4^{sqrt{x+1}}(1+{1/4}-4)=-11

4^{sqrt{x+1}}(-2{3/4})=-11

4^{sqrt{x+1}}(11/4)=11

4^{sqrt{x+1}}=4

4^{sqrt{x+1}}=4^1

Основания степени справа и слева одинаковые, поэтому приравниваем показатели:

sqrt{x+1}=1

x+1=1

x=0

Ответ: 0.

Задание 3. Решить уравнение: 1/{log_2 (1+x)}+{2log_{0,25} (3,5-x)}/{log_2 (1+x)}=1

 

Сразу, видя логарифмы, определим ОДЗ:

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{x+1>0}{3,5-x>0}{log_2 (1+x)<>0}}}{}

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{x>-1}{x<3,5}{x<>0}}}{}

Теперь приведем все логарифмы к одному основанию, и домножим на log_2 (1+x):

1+2log_{2^{-2}} (3,5-x)=log_2 (1+x)

log_2 2+2(-1/2)log_2 (3,5-x)=log_2 (1+x)

Разность логарифмов заменим частным:

log_2 2-log_2 (3,5-x)=log_2 (1+x)

log_2 (2/{3,5-x})=log_2 (1+x)

Приравняем подлогарифмические выражения:

2/{3,5-x}=1+x

2=(3,5-x)(1+x)

Решаем квадратное уравнение:

x^2-2,5x-1,5=0

Для удобства умножим на 2:

2x^2-5x-3=0

D=25-4*2*(-3)=49

Корни:  x_1={5+7}/4=3

x_2={5-7}/4=-{1/2}

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 3, -{1/2}

Задание 4. Решить уравнение: 2^(2x^2-2)+7*2^{(x+7)(x-1)}-8*2^{12(x-1)}=0

 

2^(2x^2-2)+7*2^(x^2+6x-7)-8*2^(12x-12)=0

 

{1/4}*(2^{x^2})^2+{7/{2^7}}*2^({x^2})*2^{6x}-{8/{2^12}}*(2^{6x})^2=0

Разделим на (2^{6x})^2:

{1/4}*{{2^{2x^2}}/{2^{12x}}}+{7/{2^7}}*{{2^{x^2}}/{2^{6x}}}-{8/{2^12}}=0

Вводим новую переменную: a={2^(x^2-6x)}

{1/4}a^2+{7/{2^7}}a-{8/{2^12}}=0

Найдем дискриминант:

D=49/{2^14}+4*{1/4}*{8/{2^12}}={49+32}/{2^14}=81/{2^14}

Корни:  a_1={-{7/{2^7}}+{9/{2^7}}}/{2/4}=4/{2^7}=1/{2^5}

a_2={-{7/{2^7}}-{9/{2^7}}}/{2/4}=-{16*2}/{2^7}=-1/{2^2}

Второй корень отпадает: при возведении в четную степень отрицательное число получиться не может. Тогда делаем обратную замену:

{2^(x^2-6x)}=1/{2^5}

{2^(x^2-6x)}=2^{-5}

Приравняем показатели степени:

x^2-6x=-5

Сумма коэффициентов уравнения равна 0, поэтому первый корень 1, а второй – с/a: 5

Ответ: 1; 5

Задание 5. Решить уравнение: 2^{delim{|}{x-2}{|}}-2^{delim{|}{x}{|}}=sqrt{2}

 

Перво-наперво узнаем, в каких точках происходит смена знака подмодульных выражений. Для этого приравняем оба подмодульных выражения к нулю:

x-2=0

x=2

x=0

Теперь расставим знаки подмодульных выражений на интервалах:

Задача 13 профиль

Рассмотрим каждый из интервалов отдельно, раскрывая подмодульные выражения с соответствующими знаками:

а) 2^{2-x}-2^{-x}=sqrt{2}

4*2^{-x}-2^{-x}=sqrt{2}

3*2^{-x}=sqrt{2}

2^{-x}=sqrt{2}/3

-x=log_2{sqrt{2}/3}

x=-log_2{sqrt{2}/3}

Найденное решение  - посторонний корень, так как не принадлежит рассматриваемому интервалу.

б) 2^{2-x}-2^{x}=sqrt{2}

4*2^{-x}-2^{x}=sqrt{2}

Домножим на 2^{x}:

4-2^{2x}=sqrt{2}*2^{x}

Снова введем новую переменную: a=2^x

4-a^2=sqrt{2}*a

Найдем дискриминант:

D=2-4*4*(-1)=18

Корни:  a_1={-sqrt{2}+sqrt{18}}/2={-sqrt{2}+3sqrt{2}}/2==sqrt{2}

a_2={-sqrt{2}-sqrt{18}}/2={-sqrt{2}-3sqrt{2}}/2=-2sqrt{2}

Отрицательный корень – посторонний, рассматриваем положительный и делаем обратную замену:

2^x=sqrt{2}

x={1/2}

в) 2^{x-2}-2^{x}=sqrt{2}

{1/4}*2^{x}-2^{x}=sqrt{2}

-{3/4}*2^{x}=sqrt{2}

2^x=-{4sqrt{2}}/3 – решений нет.

Ответ: {1/2}.

Для вас другие записи рубрики
Уравнения (13):

Два интересных тригонометрических уравнения с отбором (Комментариев пока нет)Вывод формул тригонометрии (Комментариев пока нет)Логарифмическое тригонометрическое уравнение (Комментариев пока нет)Решение уравнений на основе монотонности функции (Комментариев пока нет)Геометрический способ решения алгебраического уравнения (Комментариев пока нет)Отбор корней двойным неравенством в задаче 13 профильного ЕГЭ (Комментариев пока нет)Метод дополнительного угла в тригонометрических уравнениях (Комментариев пока нет)

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Проверка что Вы человек: сумма 0 + 2 =

Последние записи

Последние комментарии

Анна Валерьевна (21.01.2026 14:11:09)

Не видела задачи, не видела решение и пока ничего не могу сказать. Если брусок неподвижен, по идее, надо брать суммарную массу доски и бруска. Если подвижен, берем в уравнение для доски силу трения со стороны бруска.

Татьяна (12.01.2026 13:16:33)

Здравствуйте, Анна Валерьевна! ЕГКР декабря 2025 года. Москва. Доска трется о поверхность. На доске неподвижный брусок. В решении для доски в проекции на Ох для ma берут только массу доски. Без массы бруска. Не пойму, почему? Детям как-то надо объяснить разницу в задачах про кирпичи и про доску с бруском. Как? Подскажите, пожалуйста. Нигде не найду объяснение в разнице условий

Анна Валерьевна (08.01.2026 16:42:03)

Это не я считаю, а автор вебинара.

Анна Валерьевна (08.01.2026 16:41:15)

Благодарю.

Анна Валерьевна (08.01.2026 16:40:23)

Да, эти картинки взяты из задачника Турчиной (3800 задач по физике). Ну что тут поделаешь...

Облако меток

Случайный выбор тегов

Архивы