Тригонометрические уравнения - задание 13 профильного ЕГЭ

1. Решить уравнение.

$$4 \cos^2 {3x}-4 \cos(3x-\frac{\pi}{2})-1=0$$

Решение: преобразуем косинус разности:

$$4 \cos^2 {3x}-4 (\cos3x \cdot \cos(\frac{\pi}{2})+\sin3x \cdot \sin(\frac{\pi}{2}))-1=0$$

$$4 \cos^2 {3x}-4 \sin3x -1=0$$

По формуле основного тригонометрического тождества:

$$4-4 \sin^2 {3x}-4 \sin 3x -1=0$$

$$4 \sin^2 {3x}+4 \sin 3x -3=0$$

Получили квадратное уравнение относительно $\sin 3x$. Его корни:

$$\sin 3x=-1,5$$

Либо

$$\sin 3x=0,5$$

Первый корень – посторонний, поэтому

$$3x=\frac{\pi}{6}+2{\pi}n, n \in Z$$

Либо

$$3x=\frac{5\pi}{6}+2{\pi}k, k \in Z$$

Тогда

$$x=\frac{\pi}{18}+\frac{2{\pi}n}{3}, n \in Z$$

$$x=\frac{5\pi}{18}+\frac{2{\pi}k}{3}, k \in Z$$

Ответ: $x=\frac{\pi}{18}+\frac{2{\pi}n}{3}, n \in Z$,$x=\frac{5\pi}{18}+\frac{2{\pi}k}{3}, k \in Z$

 

2. Решить уравнение.

$$\sin^3 x- \cos^4 x=-1$$

$$\sin^3 x =\cos^4 x -1$$

Справа – разность квадратов.

$$\sin^3 x =(\cos^2 x -1)( \cos^2 x +1)$$

По формуле основного тригонометрического тождества:

$$\sin^3 x =-\sin^2 x( \cos^2 x +1)$$

$$\sin^3 x +\sin^2 x( \cos^2 x +1)=0$$

$$\sin^2 x(\sin x +\cos^2 x +1)=0$$

Первый корень - $\sin x=0$, $x=\pi k, k \in Z$

Приравниваем к нулю второй множитель:

$$\sin x +\cos^2 x +1=0$$

$$\sin x +1-\sin^2 x +1=0$$

$$\sin^2 x -\sin x - 2=0$$

Ищем корни этого квадратного уравнения, по Виету $\sin x = 2$ - посторонний корень, остается $\sin x = -1$. Решение:

$$x=(-1)^n(-\frac{\pi}{2})+\pi n$$

Ответ: $x=\pi k, k \in Z$, $x=(-1)^n(-\frac{\pi}{2})+\pi n$

 

3. Решить уравнение.

$$3 \sin^2 x – 3\cos 2x -12\sin x +7=0$$

Преобразуем косинус двойного аргумента:

$$3 \sin^2 x – 3(1-2\sin^2 x) -12\sin x +7=0$$

$$3 \sin^2 x – 3+6\sin^2 x -12\sin x +7=0$$

$$9\sin^2 x -12\sin x +4=0$$

Мы видим полный квадрат:

$$(3\sin x -2)^2=0$$

Или $3\sin x =2$, $\sin x=\frac{2}{3}$, $x=(-1)^n \arcsin(\frac{2}{3})+\pi n, n \in Z$

Ответ: $x=(-1)^n \arcsin(\frac{2}{3})+\pi n, n \in Z$

4. Решить уравнение.

$$\sqrt{1- \cos^2 x}+ 6\cos 2x=0$$

$$\sqrt{1- \cos^2 x}=- 6\cos 2x$$

Поскольку перед нами корень, то сразу определим ОДЗ:

$$- 6\cos 2x \geqslant 0$$

$$\cos 2x \leqslant 0$$

$$1-2\sin^2 x \leqslant 0$$

$$-2\sin^2 x \leqslant -1$$

$$\sin^2 x \geqslant \frac{1}{2}$$

ОДЗ: $\sin x\in [-1;-\frac{\sqrt{2}}{2}] \cup [\frac{\sqrt{2}}{2}; 1]$

$$\sqrt{\sin^2 x}=- 6\cos 2x$$

$$\left|\sin x \right|=- 6\cos 2x$$

$$\left|\sin x \right|+6(1-2\sin^2 x)=0$$

$$\left|\sin x \right|+6-12\sin^2 x=0$$

При $\sin x \geqslant 0$ имеем:

$$\sin x +6-12\sin^2 x=0$$

$$ 12\sin^2 x-\sin x -6=0$$

$$\sin x=\frac{3}{4}$$

$$x=(-1)^k \arcsin(\frac{3}{4})+\pi k, k \in Z$$

Так как второй корень квадратного уравнения отрицателен, то к рассматриваемому промежутку он отношения не имеет.

При $\sin x < 0$ имеем:

$$-\sin x +6-12\sin^2 x=0$$

$$ 12\sin^2 x+\sin x -6=0$$

$$\sin x=-\frac{3}{4}$$

Второй корень квадратного уравнения положителен, а мы рассматриваем случай, когда $\sin x < 0$ - поэтому мы его отбросили.

$$x=(-1)^n \arcsin(-\frac{3}{4})+\pi n, n \in Z$$

или  $x=(-1)^{n+1} \arcsin(\frac{3}{4})+\pi n, n \in Z$

Оба полученных решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ:$x=(-1)^k \arcsin(\frac{3}{4})+\pi k, k \in Z$ и $x=(-1)^{n+1} \arcsin(\frac{3}{4})+\pi n, n \in Z$

 

5. Решить уравнение.

$$2\sin^2 x+ \sin^2 2x=\frac{5}{4}-2 \cos 2x$$

$$2\sin^2 x+ 4\sin^2 x\cos^2 x=\frac{5}{4}-2 (1-2\sin^2 x)$$

$$2\sin^2 x+ 4\sin^2 x\cos^2 x-\frac{5}{4}+2 -4\sin^2 x)=0$$

$$-2\sin^2 x+ 4\sin^2 x\cos^2 x+\frac{3}{4}=0$$

$$-2\sin^2 x+ 4\sin^2 x(1-\sin^2 x)+\frac{3}{4}=0$$

$$-2\sin^2 x+ 4\sin^2 x-4\sin^4 x+\frac{3}{4}=0$$

$$4\sin^4 x -2\sin^2 x-\frac{3}{4}=0$$

Получили биквадратное уравнение относительно $\sin x$. Обозначаем $\sin^2 x=a$:

$$4a^2 -2a-\frac{3}{4}=0$$

Корни этого уравнения: $a_1=\frac{3}{4}$ и $a_2=-\frac{1}{4}$. Так как $a= \sin^2 x $, то отрицательный корень является посторонним. Тогда $\sin^2 x=\frac{3}{4}$, и $\sin x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Определяем $x$:

$$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n, n \in Z$$

 

6. Решить уравнение.

$$\cos {\frac{x}{2}}=1+\cos x$$

Представим $\cos x$ как косинус двойного угла:

$$\cos {\frac{x}{2}}=1+\left(2\cos^2 {\frac{x}{2}}-1\right)$$

$$2\cos^2 {\frac{x}{2}}-\cos {\frac{x}{2}}=0$$

$$\cos {\frac{x}{2}}(2\cos {\frac{x}{2}}-1)=0$$

Уравнение распалось на два:

$$\cos {\frac{x}{2}}=0$$

$$2\cos {\frac{x}{2}}-1=0$$

Первое решение:

$$\frac{x}{2}}=(-1)^k \cdot {\frac{\pi}{2}}+2 \pi n, n \in Z$$

$$x=(-1)^k \cdot {\pi}+4 \pi n, n \in Z$$

Второе решение:

$$\cos {\frac{x}{2}}=\frac{1}{2}$$

$$\frac{x}{2}}=(-1)^k \cdot {\frac{\pi}{3}}+2 \pi m, m \in Z$$

$$x=(-1)^k \cdot {\frac{2\pi}{3}}+4 \pi m, m \in Z$$

 

7. Решить уравнение.

$$\cos 12x-\sin 4 x=0$$

Функцию синуса заменим косинусом:

$$\cos 12x-\cos (90^{\circ}-4x)=0$$

Разность косинусов удобно заменить произведением синусов:

$$-2 \sin{\frac{8x+90^{\circ}}{2}} \sin{\frac{16x-90^{\circ}}{2}}=0$$

Уравнение распадается на два:

$$\sin(4x+45^{\circ}) =0$$

Или

$$\sin(8x-45^{\circ})=0$$

Решение первого:

$$4x+45^{\circ} =\pi n, n \in Z$$

$$4x=-\frac{\pi}{4}+\pi n, n \in Z$$

$$x=-\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4}, n \in Z$$

Решение второго:

$$8x-45^{\circ} =\pi m, m \in Z$$

$$8x=\frac{\pi}{4}+\pi m, m \in Z$$

$$x=-\frac{\pi}{32}+\frac{\pi m}{8}, n \in Z$$

Ответ: $x=-\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4}, n \in Z$, $x=-\frac{\pi}{32}+\frac{\pi m}{8}, n \in Z$