Тригонометрические уравнения с отбором корней

Тригонометрические уравнения в этих заданиях объединены в системы с неравенствами. Неравенства помогают отобрать корни после решения уравнения. Уравнения простые, только пара из них требуют введения дополнительного угла. Поэтому с них можно начинать подготовку к решению заданий 13 профильного ЕГЭ.

Задача 1.

Решите систему:

$$\begin{Bmatrix}{1-h\geqslant 0}\\{-1-h \leqslant 0}\\{-3\cos(\pi h)+3\sqrt{3}\sin(\pi h)+6=0}\end{matrix}$$

По сути, необходимо решить уравнение, а неравенства помогут отобрать корни. Первое, что приходит на ум, разделить уравнение на 3:

$$\begin{Bmatrix}{h\leqslant 1}\\{h \geqslant -1}\\{-\cos(\pi h)+\sqrt{3}\sin(\pi h)+2=0}\end{matrix}$$

Теперь разделим его еще на два, и перенесем единицу вправо:

$$\begin{Bmatrix}{h\leqslant 1}\\{h \geqslant -1}\\{-\frac{1}{2}\cos(\pi h)+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(\pi h)=-1}\end{matrix}$$

Уравнение интересно тем, что его можно решить введением дополнительного угла:

$$\begin{Bmatrix}{h\leqslant 1}\\{h \geqslant -1}\\{\sin{\varphi}\cos(\pi h)+\cos{\varphi}\sin(\pi h)=-1}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{h\leqslant 1}\\{h \geqslant -1}\\{\sin{\pi h-\frac{\pi}{6}}=-1}\end{matrix}$$

Тогда $\pi h-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{2}+2\pi k$

$$h-\frac{1}{6}=-\frac{1}{2}+2k$$

$$h=-\frac{1}{3}+2k$$

Только при $k=0$ наше решение попадет в заданный неравенствами интервал.

Ответ: $h=-\frac{1}{3}$

 

Задача 2.

Решите систему:

$$\begin{Bmatrix}{g+13\geqslant 0}\\{g+12 \leqslant 0}\\{-18\operatorname{tg}^2(\pi g)+(-18-18\sqrt{3})\operatorname{tg}(\pi g)-18\sqrt{3}=0}\end{matrix}$$

Разделим на 18 уравнение:

$$\begin{Bmatrix}{g\geqslant -13}\\{g\leqslant -12}\\{\operatorname{tg}^2(\pi g)+(1+\sqrt{3})\operatorname{tg}(\pi g)+\sqrt{3}=0}\end{matrix}$$

Решим квадратное уравнение относительно $\operatorname{tg}(\pi g)$:

$$D=(1+\sqrt{3})^2-4\cdot\sqrt{3}=(1-\sqrt{3})^2$$

Тогда $\operatorname{tg}(\pi g)=-1$ или $\operatorname{tg}(\pi g)=-\sqrt{3}$,

$\pi g=-\frac{\pi}{4}+\pi k$ или $\pi g=-\frac{\pi}{3}+\pi k$

$g=-\frac{1}{4}+k$ или $ g=-\frac{1}{3}+k$

Тогда в промежуток, заданный неравенствами, попадут следующие точки:

$$-13<-\frac{1}{4}+k<-12$$

$$-12,75<k<-11,75$$

$$k=-12$$

$$g=-12,25$$

Или же

$$-13<-\frac{1}{3}+k <-12$$

$$-12\frac{2}{3}<k<-11\frac{2}{3}$$

$$k=-12$$

$$g=-12\frac{1}{3}=-\frac{37}{3}$$

Ответ: $g=-12,25$ или $g=-\frac{37}{3}$

 

Задача 3.

Решите систему:

$$\begin{Bmatrix}{-p\geqslant 0}\\{-3-p \leqslant 0}\\{-\frac{20}{\sin(\pi p+\frac{7\pi}{2})+6=0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{p\leqslant 0}\\{p \geqslant -3}\\{-\frac{20+6\sin(\pi p+\frac{7\pi}{2})}{\sin(\pi p+\frac{7\pi}{2})=0}\end{matrix}$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен. Приравняем числитель к нулю:

$$6\sin(\pi p+\frac{7\pi}{2})-20=0$$

$$\sin(\pi p+\frac{7\pi}{2})=\frac{10}{3}$$

Решение – пустое множество.

Задача 4. Решите систему:

$$\begin{Bmatrix}{\nu-\frac{1}{2}\leqslant 0}\\{\nu+1 \geqslant 0}\\{9^{-2\sin (2\pi \nu)}-81^{\cos(-4\pi-\pi \nu)}=0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{\nu \leqslant \frac{1}{2}}\\{\nu\geqslant -1}\\{9^{-2\sin (2\pi \nu)=9^{2\cos(-4\pi-\pi \nu)}\end{matrix}$$

Уравнение может быть записано теперь так:

$$-2\sin (2\pi \nu)=2\cos(-4\pi-\pi \nu)$$

$$-\sin (2\pi \nu)-\cos(\pi \nu)=0$$

$$-2\sin (\pi \nu) \cos(\pi \nu)-\cos(\pi \nu)=0$$

$$- \cos(\pi \nu)( 2\sin (\pi \nu)+1)=0$$

Уравнение распадается на 2:

$$\cos(\pi \nu)=0$$

$$\sin(\pi \nu)=-\frac{1}{2}$$

Тогда

$$\pi \nu=\pm \frac{\pi}{2}+\pi k$$

$$\nu=\pm \frac{1}{2}+k$$

Или:

$$\pi \nu=-\frac{\pi}{6}+2\pi k$$

$$\pi \nu=-\frac{5\pi}{6}+2\pi k$$

 

$$\nu=-\frac{1}{6}+2k$$

$$\nu=-\frac{5}{6}+2k$$

Произведем отбор корней, решения первого уравнения:

$$-1<\pm \frac{1}{2}+k<\frac{1}{2}$$

Получаем, что $-1,5<k<0$ или $-0,5<k<1$

То есть $k=-1$ или $k=0$

$\nu=\frac{1}{2}$ и $\nu=-\frac{1}{2}$.

Решения второго уравнения:

$$-1<-\frac{1}{6}+2k <\frac{1}{2}$$

$$-\frac{5}{6}<2k <\frac{2}{3}$$

$$k=0$$

$$\nu=-\frac{1}{6}$$

$$-1<-\frac{5}{6}+2k <\frac{1}{2}$$

$$-\frac{1}{6}<2k <\frac{4}{3}$$

$$k=0$$

$$\nu=-\frac{5}{6}$$

Ответ: $\nu=-\frac{5}{6}$, $\nu=-\frac{1}{2}$,  $\nu=-\frac{1}{6}$, $\nu=\frac{1}{2}$.

 

 

Задача 5.

Решите систему:

$$\begin{Bmatrix}{-2-c\geqslant 0}\\{-3-c \leqslant 0}\\{4\cos(\pi c)+4\sqrt{3}\sin(\pi c)+4\sqrt{3}=0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{c\leqslant -2}\\{c \geqslant -3}\\{\cos(\pi c)+ \sqrt{3}\sin(\pi c)+ \sqrt{3}=0}\end{matrix}$$

Разделив уравнение на 2, можем ввести дополнительный угол:

$$\frac{1}{2}\cos(\pi c)+ \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(\pi c)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\sin(\varphi)\cos(\pi c)+ \cos(\varphi)\sin(\pi c)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\sin(\frac{\pi}{6})\cos(\pi c)+ \cos(\frac{\pi}{6})\sin(\pi c)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\sin(\frac{\pi}{6}+\pi c)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\frac{\pi}{6}+\pi c=-\frac{\pi}{3}+2\pi k$$

$$\frac{\pi}{6}+\pi c=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k$$

Имеем два решения:

$$\frac{1}{6}+c=-\frac{1}{3}+2k$$

$$\frac{1}{6}+c=-\frac{2}{3}+2k$$

Упрощаем:

$$c=-\frac{1}{2}+2k$$

$$c=-\frac{5}{6}+2k$$

Произведем отбор корней:

$$-3<-\frac{1}{2}+2k<-2$$

$$-3<-\frac{5}{6}+2k<-2$$

$$-2,5<2k<-1,5$$

$$-2\frac{1}{6}<2k<-1\frac{1}{6}$$

Тогда в обоих случаях $k=-1$.

Определим корни, входящие в интервал:

$$c=-2,5$$

$$c=-\frac{17}{6}$$

Ответ: $c=-2,5$ и $c=-\frac{17}{6}$.