Тригонометрические уравнения 3

При решении тригонометрических уравнений могут появиться посторонние корни, если:

1)      Уравнение содержит тангенс или котангенс;

2)      Обе части уравнения умножаются или делятся на выражение, содержащее неизвестное;

3)      Обе части уравнения возводятся в квадрат.

При решении тригонометрических уравнений могут быть потеряны корни, если:

1)      Обе части уравнения умножаются или делятся на выражение, содержащее неизвестное;

2)      Используются тригонометрические формулы, которые справедливы не при всех значениях неизвестного;

3)      При решении системы тригонометрических уравнений для обозначения целого числа в найденных значениях x и y используется только одна буква.

Задача 1.  а) Решить уравнение:

б) Выбрать корни указанного уравнения, принадлежащие промежутку

Так как в уравнении есть тангенс, то оговариваем, что

Также будут забракованы нами все решения, которые подразумевают равенство косинуса нулю.

Раскрываем скобки:

Переходим от косинусов к синусам через основное тригонометрическое тождество:

Имеем квадратное уравнение относительно синусов:

Так как второй коэффициент равен сумме первого и третьего: a+c=b, то первый корень равен (-1), а второй (-c/a), то есть 0,5.

Первый корень приведет к решению, которое означает равенство косинуса 0, поэтому это посторонний корень. Рассматриваем второй корень:

или

Отберем корни: промежуток – это третий оборот в положительную сторону и еще половина четвертого. Тогда в указанный промежуток войдут точки, изображенные на рисунке: .

Ответ: a) или

б)

Задача 2.  а) Решить уравнение:

б) Выбрать корни указанного уравнения, принадлежащие промежутку

Так как пока нет никаких видимых ограничений, то сразу начинаем решение.

Уравнение распадается на два:

или

Решаем первое:

или

Решаем второе:

или

Корни показаны на рисунке красными точками. Нужный промежуток показан зеленой дугой: точка (-5) – это приблизительно . Концы промежутка закрашены: эти точки принадлежат промежутку. Тогда отбираем корни, принадлежащие промежутку:

Ответ: a) или

или

б)

Задача 3.  а) Решить уравнение:

б) Выбрать корни указанного уравнения, принадлежащие промежутку[)

Сначала воспользуемся формулами приведения, чтобы в аргументе не присутствовали бы числа, а только неизвестные:

Целый оборот  исключаем:

Тогда имеем: или – посторонний корень.

или

Отберем корни: на рисунке корни показаны красными точками, зеленой дугой – нужный промежуток, точка начала промежутка  принадлежит ему, а точка конца – нет.

Ответ: а) или

б)

 

Задача 4.  а) Решить уравнение:

б) Выбрать корни указанного уравнения, принадлежащие промежутку

Сначала отбросим целые обороты:

Применяем формулу приведения:

Уравнение распадается на два:

или

Решение:

или ,

Отберем корни: на рисунке показан зеленой дугой нужный промежуток, концы его закрашены. Красными точками показаны: на единичной окружности – корни уравнения, на дуге промежутка – отобранные корни.

Ответ: а) или ,

б)

 

Задача 5.  а) Решить уравнение:

б) Выбрать корни указанного уравнения, принадлежащие промежутку (]

Откинем целые обороты и поменяем знаки:

Применим формулы приведения:

Заменим косинус двойного аргумента:

Решение: или

или

На рисунке показана единичная окружность (синим цветом), на ней – красные точки решений уравнения. Зеленой спиралью показан нужный промежуток, причем его левый конец не закрашен – эта точка не принадлежит промежутку по условию.

Ответ: а) или

б)

 

 

Задача 6.  а) Решить уравнение:

б) Выбрать корни указанного уравнения, принадлежащие промежутку , или

Раскроем оба синуса суммы:

Так как не является корнем уравнения, то разделим на него все слагаемые:

Отобранные корни показаны на рисунке на зеленой дуге, которой отмечен заданный интервал.

Ответ: а) , б)

 

Задача 7.  а) Решить уравнение:

б) Выбрать корни указанного уравнения, принадлежащие промежутку

Раскрываем формулу двойного аргумента:

Решаем как обычное биквадратное уравнение:

, где

, – этот вариант решения отбрасываем.

Тогда:

Решение: .

Отберем корни. На рисунке показаны решения уравнения на единичной окружности, и отобранные корни – на зеленой дуге промежутка.

Ответ: а) , б)

 

Задача 8.  а) Решить уравнение:

б) Выбрать корни указанного уравнения, принадлежащие промежутку (]

Воспользовавшись формулами приведения:

Так как присутствует синус половинного аргумента, то раскроем косинус – как косинус двойного аргумента:

или

Тогда:

или

или

, или

,

,

Отберем корни.

Ответ: а) , б)