Решение уравнений на основе монотонности функции

В этой статье приведен еще один редкий способ решения уравнений.

Утверждение. Если функция $y=f(x)$ монотонно возрастает, то уравнения $f(x)=x$ и $f(f(x)=x$ имеют одно и то же множество корней.

Следствие. Если $n$ - натуральное число, а функция $y=f(x)$ монотонно возрастает, то уравнения $f(x)=x$ и и $f(f(\ldots f(x))\ldots)=x$ имеют одно и то же множество корней.

Задача 1.

Решить уравнение.

$$x^3-7\sqrt[3]{7x-6}+6=0$$

Перепишем так:

$$\sqrt[3]{7x-6}=\frac{x^3+6}{7}$$

Возводим в куб:

$$7x-6=\left(\frac{x^3+6}{7}\right)^3$$

$$x=\frac{\left(\frac{x^3+6}{7}\right)^3+6}{7}$$

Функция $F(x)= \frac{x^3+6}{7}$ возрастает на всей числовой оси, поэтому в силу приведенного утверждения уравнения $f(x)=x$ и $f(f(x)=x$ имеют одно и то же множество корней.

Поэтому

$$\frac{x^3+6}{7}=x$$

$$x^3+6=7x$$

$$x^3-x-6x+6=0$$

$$x(x^2-1)-6(x-1)=0$$

$$(x-1)(x(x+1)-6)=0$$

$$(x-1)(x^2+x-6)=0$$

Корнями этого уравнения являются числа $1; 2; -3$.
Ответ: -3, 1, 2.

Задача 2.

Решить уравнение

$$x^3-8=16\sqrt[3]{ x+1}$$

Перепишем:

$$ x^3=8\left(2\sqrt[3]{ x+1}+1\right)$$

$$ x=2\sqrt[3]{2\sqrt[3]{ x+1}+1}$$

Рассмотрим функцию $f(x)= 2\sqrt[3]{ x+1}$. Она возрастает на всей числовой оси, поэтому в силу приведенного утверждения уравнения $f(x)=x$ и $f(f(x)=x$ имеют одно и то же множество корней.

Тогда

$$2\sqrt[3]{ x+1}=x$$

$$x^3-8x-8=0$$

$$x^3+2x^2-2x^2-8x-8=0$$

$$x^2(x+2)-2(x^2+4x+4)=0$$

$$x^2(x+2)-2(x+2)^2=0$$

$$(x+2)(x^2-2x-4)=0$$

Корни $x=2$ и $x=1\pm\sqrt{5}$.

 

Приведу еще один способ решить это уравнение.

$$x^3-8=16\sqrt[3]{ x+1}$$

Перепишем:

$$\frac{x^3-8}{8}=2\sqrt[3]{ x+1}$$

$$2\sqrt[3]{ x+1}=t$$

Следовательно,

$$t^3=8(x+1)$$

$$x=\frac{t^3-8}{8}$$

Функции $t=2\sqrt[3]{ x+1}$ и $t=\frac{x^3-8}{8}$ взаимно обратные, возрастающие, и их равенство возможно только при $x=t$.

$$\frac{x^3-8}{8}=x$$

И далее аналогично (решение выше).

 

Задача 3.

Решить систему

$$\begin{Bmatrix}{ \sqrt{x^2+2+\sqrt{y+x^2+2}}=y}\\{ \sqrt{y^2-7+\sqrt{x+y^2-7}}=x }\end{matrix}$$

 

Рассмотрим функцию $f(x;y)= \sqrt{ y+x^2+2}$. Она возрастает на всей числовой оси, поэтому в силу приведенного утверждения

$$\sqrt{ y+x^2+2}=y$$

Аналогично

$$\sqrt{ x+y^2-7}=x$$

Тогда

 

$$\begin{Bmatrix}{ x^2=x+y^2-7}\\{ y^2=y+x^2+2 }\end{matrix}$$

 

$$ x^2-x+7=y+x^2+2 $$

$$ y = 5-x $$

$$x^2=x+25-10x+x^2-7$$

$$9x=18$$

$$x=2$$

$$y=3$$

Ответ: $(2;3)$

Задача 4. Решить уравнение.

$$\frac{1}{x+\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+\sqrt{x^8+1}}}}=x^{15}$$

Решение. $x=0$ - не корень уравнения. Поэтому можно записать это уравнение

$$\frac{1}{x^{15}}= x+\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+\sqrt{x^8+1}}}$$

Или

 

$$\frac{1}{x^{16}}= 1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\frac{1}{x^8}}}}$$

Откуда согласно утверждению

$$\frac{1}{x^{16}}= 1+\frac{1}{x^{8}}$$

$$x^{16}+x^8-1=0$$

Можно ввести замену, но можно и обойтись:

$$D=5$$

$$x^8=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$$

$$x=\sqrt[8]{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$$

Ответ: $x=\sqrt[8]{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$.