Неравенство и система

Неравенство, которое может сначала испугать, а оказывается, что его может решить и школьник 7 класса, и система с некрасивыми числами рассмотрены в этой статье.

1.Решите неравенство:

$$\sqrt{32s^{52752}-16s^{105504}-16}+11s^{466436}-78<0$$

Неравенство выглядит жутковато, но нас не испугать. Мы знаем, что подкоренное выражение неотрицательно. А если приглядеться, то можно под корнем углядеть полный квадрат, а это уже большое подспорье:

$$\sqrt{-(4s^{52752}-4)^2}+11s^{466436}-78<0$$

$$-(4s^{52752}-4)^2 \geqslant 0$$

Минус сводит последнее неравенство к уравнению:

$$(4s^{52752}-4)^2=0$$

$$4s^{52752}-4=0$$

$$s^{52752}=1$$

$$s=1$$

Ответ: $s=1$

2. Решите систему:

$$\begin{Bmatrix}{2x^2-2xy-41=0}\\{x>0}\\{5y^2-5xy+33=0}\end{matrix}$$

Это обычная система уравнений, к ней применимы все известные способы решения. Оставим пока неравенство в стороне, и решим систему уравнений.

Умножим первое на 5, а второе на 2, и вычтем уравнения друг из друга:

$$\begin{Bmatrix}{10x^2-10xy-205=0}\\{10y^2-10xy+66=0}\end{matrix}$$

Результат вычитания уравнений:

$$10(x^2-y^2)=271$$

Теперь разделим уравнения друг на друга:

$$\frac{x^2}{y^2}+1-\frac{205}{66}=0$$

$$\frac{x^2}{y^2}=\frac{139}{66}$$

Теперь можно выразить $x^2$:

$$x^2=\frac{139y^2}{66}$$

Подставим это в результат вычитания:

$$10(\frac{139y^2}{66}-y^2)=271$$

$$y^2=\frac{8943}{365}$$

Тогда $x^2=\frac{37669}{730}$

Теперь, применив условие, заданное неравенством, получим

$$ x=\sqrt{\frac{37669}{730}}$$

А $y=\pm \sqrt{\frac{8943}{365}}$

Тогда ответ: $\{\sqrt{\frac{37669}{730}};\sqrt{\frac{8943}{365}}\} \cup \{\sqrt{\frac{37669}{730}};-\sqrt{\frac{8943}{365}}\}$