Метод дополнительного угла в тригонометрических уравнениях

Два тригонометрических уравнения, использующих метод введения дополнительного угла.

Задача 1.

Решить уравнение:

$$\sqrt{6}(\sin x+\cos x)+\sqrt{2}(\sin x-\cos x)=2$$

$$\sqrt{6}\sin x+\sqrt{6}\cos x+\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}\cos x=2$$

$$(\sqrt{6}+\sqrt{2})\sin x+(\sqrt{6}-\sqrt{2})\cos x=2$$

Вводим дополнительный угол: $A\sin x+B\cos x=R\sin (x+\varphi)$, $R=\sqrt{A^2+B^2}$, $\sin \varphi=\frac{B}{R}, \cos \varphi=\frac{A}{R}$. Тогда у нас $R=4$, $\sin \varphi=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}, \cos \varphi=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

Делаем вывод, что $\varphi=\frac{\pi}{12}$, так как

$$\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}$$

Если $\sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$; $\cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, то

$$\sin^2\frac{\pi}{12}=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{4}$$

$$\sin\frac{\pi}{12}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}=\sqrt{\frac{8-4\sqrt{3}}{16}}=\sqrt{\frac{6-4\sqrt{3}+2}{16}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2}{16}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$

Тогда

$$4\sin \left(x+\frac{\pi}{12}\right)=2$$

$$\sin \left(x+\frac{\pi}{12}\right)=\frac{1}{2}$$

$$ x+\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{6}+2\pi n, n \in Z$$

$$ x+\frac{\pi}{12}=\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n \in Z$$

$$x=\frac{\pi}{12}+2\pi n, n \in Z$$

$$ x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n, n \in Z$$

Ответ: $x=\frac{\pi}{12}+2\pi n, n \in Z$; $ x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n, n \in Z$

Задача 2.

Решить уравнение:

$$\cos(2\sin x+(1+\sqrt{3})\cos x)=\sin((1-\sqrt{3})\cos x)$$

Решение:

$$\cos(2\sin x+(1+\sqrt{3})\cos x)=\cos(\frac{\pi}{2}-(1-\sqrt{3})\cos x)$$

Косинусы равны в случае, если сумма углов равна $2\pi$, и в случае, если разность углов равна $2\pi$.

Тогда

$$2\sin x+(1+\sqrt{3})\cos x+\frac{\pi}{2}-(1-\sqrt{3})\cos x=2\pi k$$

Или

$$2\sin x+(1+\sqrt{3})\cos x-\frac{\pi}{2}+(1-\sqrt{3})\cos x=2\pi k$$

В первом случае

$$\sin x+\sqrt{3}\cos x=-\frac{\pi}{4}+\pi k~~~~~~~~~~(1)$$

Во втором случае

$$\sin x+\cos x=\frac{\pi}{4}+\pi k~~~~~~~~~~~~~~(2)$$

На этом этапе можно воспользоваться формулой дополнительного угла, тогда получится для (1)

$$\sin \varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}, \cos \varphi=\frac{1}{2}, \varphi=\frac{\pi}{3}, R=2$$

$$\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\sin(x+\frac{\pi}{3})$$

Для (2)

$$\sin \varphi=\frac{\sqrt{2}}{2}, \cos \varphi=\frac{\sqrt{2}}{2}, \varphi=\frac{\pi}{4}, R=\sqrt{2}$$

$$\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$$

Тогда

$$2\sin(x+\frac{\pi}{3})=-\frac{\pi}{4}+\pi k$$

Или

$$\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{4}+\pi k$$

Кстати, сразу отметим, что $k=0$, иначе наши синусы будут принимать значения, большие 1 по модулю.

Для синусов в этом случае может оказаться неудобно записывать решения, поэтому мы этим путем дальше не пойдем, а вернемся к моменту введения дополнительного угла и сделаем иначе: будем пользоваться формулами косинуса разности. Тогда в первом случае

$$\sin x+\sqrt{3}\cos x=-\frac{\pi}{4}+\pi k~~~~~~~~~~(1)$$

$$\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}$$

$$\cos(x-\frac{\pi}{6})=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}$$

Во втором случае

$$\sin x+\cos x=\frac{\pi}{4}+\pi k~~~~~~~~~~~~~~(2)$$

$$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=\frac{\sqrt{2}\pi}{8}+\frac{\sqrt{2}\pi k}{2}$$

$$\cos(x-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}\pi}{8}+\frac{\sqrt{2}\pi k}{2}$$

Мы уже заключили ранее, что $k=0$, поэтому

$$\cos(x-\frac{\pi}{6})=-\frac{\pi}{8}$$

Или

$$\cos(x-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}\pi}{8}$$

Окончательно:

$$x-\frac{\pi}{6}=\pi \pm \arccos(\frac{\pi}{8})+2\pi n, n \in Z$$

Или

$$ x-\frac{\pi}{4}=\pi \pm \arccos(\frac{\sqrt{2}\pi}{8})+2\pi l, l \in Z$$

Тогда

$$x=\frac{7\pi}{6} \pm \arccos(\frac{\pi}{8})+2\pi n, n \in Z$$

$$x=\frac{\pi}{4} \pm \arccos(\frac{\sqrt{2}\pi}{8})+2\pi l, l \in Z$$

Ответ: $x=\frac{7\pi}{6} \pm \arccos(\frac{\pi}{8})+2\pi n, n \in Z$, $x=\frac{\pi}{4} \pm \arccos(\frac{\sqrt{2}\pi}{8})+2\pi l, l \in Z$