Геометрический способ решения алгебраического уравнения

В этой статье приведен очень необычный способ решения уравнения. Даже два способа. Оба они тесно связаны с геометрией. Это тот случай, когда геометрия помогает алгебре.

Задача. Решить уравнение.

$$\sqrt{x^2-5x\sqrt{2}+25}+\sqrt{x^2-12x\sqrt{2}+144}=13$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12 и гипотенузой 13. Пусть в нем проведена биссектриса прямого угла, длина которой $x$.

К первому способу решения

Тогда, с одной стороны,
$$a^2=5^2+x^2-2x\cdot 5\cdot\cos 45^{\circ}=25+x^2-5x\sqrt{2}$$

$$b^2=x^2+12^2-2x\cdot 12\cdot\cos 45^{\circ}= x^2+144-12x\sqrt{2}$$

С другой, по свойству биссектрисы,

$$\frac{a}{b}=\frac{5}{12}$$

И

$$a+b=13$$

Тогда

$$a=\frac{5}{12}b$$

$$\frac{5}{12}b+b=13$$

$$\frac{17}{12}b=13$$

$$b=\frac{156}{17}$$

$$a=13-\frac{156}{17}=\frac{65}{17}$$

Длину биссектрисы - $x$ - вычислим по формуле

$$x=\sqrt{5\cdot12-a\cdot b}=\sqrt{60-\frac{65}{17}\cdot \frac{156}{17}}=\frac{60\sqrt{2}}{17}$$

Ответ: $x=\frac{60\sqrt{2}}{17}$

Второй способ решить эту задачу: выделить полный квадрат. Как говорится: «Не знаешь, что делать – выделяй полный квадрат».

$$\sqrt{x^2-5x\sqrt{2}+25}+\sqrt{x^2-12x\sqrt{2}+144}=13$$

$$\sqrt{\left(\frac{x}{\sqrt{2}}+0\right)^2+\left(\frac{x}{\sqrt{2}}-5\right)^2}+\sqrt{\left(\frac{x}{\sqrt{2}}-12\right)^2+\left(\frac{x}{\sqrt{2}}-0\right)^2}=\sqrt{(12-0)^2+(0-5)^2}$$

Первое слагаемое превратилось в расстояние от точки $\left(\frac{x}{\sqrt{2}};\frac{x}{\sqrt{2}}\right)$ до точки $(0;5)$, второе – в расстояние от точки $\left(\frac{x}{\sqrt{2}};\frac{x}{\sqrt{2}}\right)$ до точки $(12;0)$, третье – в расстояние от точки $(12;0)$ до точки $(0; 5)$.

Если точка расположена на прямой между двумя другими, то сумма двух расстояний (от нее до концов отрезка) равна длине этого отрезка. И иначе: если сумма расстояний от данной точки до двух других равна длине отрезка, то точка принадлежит этому отрезку.

Ко второму способу решения

Таким образом, точка с  координатами  $\left(\frac{x}{\sqrt{2}};\frac{x}{\sqrt{2}}\right)$ должна принадлежать прямой, проходящей через точки $(12;0)$ и $(0; 5)$. Уравнение такой прямой –

$$y=-\frac{5}{12}x+5$$

Подставим в него координаты нашей точки:

$$\frac{x}{\sqrt{2}}=-\frac{5}{12}\cdot \frac{x}{\sqrt{2}}+5$$

$$\frac{17x}{12\sqrt{2}}=5$$

$$ x=\frac{60\sqrt{2}}{17}$$

Ответ: $x=\frac{60\sqrt{2}}{17}$