Два интересных тригонометрических уравнения с отбором

В этой статье всего два уравнения. Но оба – очень интересные. Оба – из пособия Ященко, 50 вариантов, 2019 год.

Задача 1.

а) Решите уравнение:

$$\cos x+\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}(\sin x+1)}=0$$

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{11\pi}{2}; -4\pi\right]$

Решение:

$$ \sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}(\sin x+1)}= -\cos x $$

Делаем вывод, что косинус не должен оказаться положительным.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}(\sin x+1)= \cos^2 x$$

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}(\sin x+1)=1- \sin^2 x$$

$$\sin^2 x +\frac{2-\sqrt{2}}{2}\sin x  +\frac{2-\sqrt{2}}{2}=1 $$

$$\sin^2 x +\frac{2-\sqrt{2}}{2}\sin x  +1-\frac{\sqrt{2}}{2}=1 $$

$$\sin^2 x +\frac{2-\sqrt{2}}{2}\sin x  -\frac{\sqrt{2}}{2}=0 $$

$$\sin^2 x +\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\sin x  -\frac{\sqrt{2}}{2}=0 $$

Получили квадратное уравнение. Найдем его дискриминант.

$$D=\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2-4\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=1-\sqrt{2}+\frac{1}{2}-2\sqrt{2}=1+\sqrt{2}+\frac{1}{2}=\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2$$

Корни:

$$\sin x=\frac{\left(-1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+ \left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Или

$$\sin x=\frac{\left(-1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)- \left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}{2}=-1$$

Тогда, с учетом отрицательности косинусов полученных углов

$$x_1=\frac{3\pi}{4}+2\pi k, k \in Z$$

$$x_2=\frac{3\pi}{2}+2\pi n, n \in Z$$

Отберем корни на окружности: точка $\frac{3\pi}{2}$ совпадает с точкой $-4,5\pi$. Чтобы попасть в нужную точку, совпадающую с $\frac{3\pi}{4}$, нужно отступить на $\frac{\pi}{4}$ от $-5\pi$ назад (в отрицательном направлении), т.е. $-5\pi-\frac{\pi}{4}=-\frac{21\pi}{4}$.

Ответ: а) $\frac{3\pi}{4}+2\pi k, k \in Z$, $\frac{3\pi}{2}+2\pi n, n \in Z$

б) $-5,5\pi; -\frac{21\pi}{4}$.

Задача 2.

а) Решите уравнение:

$$(4\sin^2 x-1)\cdot\sqrt{x^2-64\pi^2}=0$$

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку $\left[25; 30\right]$

Решение:

Если

$$\sqrt{x^2-64\pi^2}=0$$

То

$$x=8\pi$$

$$x=-8\pi$$

Если

$$4\sin^2 x-1=0$$

То при $-8\pi <x<8\pi$.

Тогда

$$\sin x=\frac{1}{2}$$

$$\sin x=-\frac{1}{2}$$

Теперь важно правильно записать ответ:

От точки $8\pi$ можно двигаться только вперед, поэтому первый корень - $7\pi + \frac{\pi}{6}+ \pi n, n \in N$. Заметьте, что $n$ - натуральное, ибо от точки $8\pi$ - ни шагу назад! Аналогично можно записать следующий корень - $7\pi + \frac{5\pi}{6}+ \pi n, n \in N$.

А вот из точки $-8\pi$ можно двигаться только назад, в отрицательном направлении. Третий корень - $-7\pi - \frac{\pi}{6}- \pi n, n \in N$.

Четвертый корень - $-7\pi - \frac{5\pi}{6}- \pi n, n \in N$.

б) Определим, где находится точка 25. Это примерно $8\pi$, проверяем:

$$8\cdot 3,14=25,12$$

Точка $8\pi$, таким образом, в интервал попадает. Также и точка $8\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{49\pi}{6}$ тоже обязательно попадет, и точка $8\pi+\frac{5\pi}{6}=\frac{53\pi}{6}$. Так как $5>\pi$, то и точка $8\pi+\frac{7\pi}{6}=\frac{55\pi}{6}$ - тоже принадлежит интервалу. Теперь проверим точку $8\pi+\frac{11\pi}{6}=\frac{59\pi}{6}=30,9$ - а вот она уже не попала.

Итак, ответ:  а) $\frac{43\pi}{6}+ \pi n, n \in N$, $\frac{47\pi}{6}+ \pi n, n \in N$, $- \frac{43\pi}{6}- \pi n, n \in N$, $- \frac{43\pi}{6}- \pi n, n \in N$.

б) $\frac{49\pi}{6}$, $\frac{53\pi}{6}$, $\frac{55\pi}{6}$, $8\pi$.