Уравнения (13)

В этой статье всего два уравнения. Но оба – очень интересные. Оба – из пособия Ященко, 50 вариантов, 2019 год. Задача 1. а) Решите уравнение: $$\cos x+\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}(\sin x+1)}=0$$ б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{11\pi}{2}; -4\pi\right]$ Решение: $$ \sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}(\sin x+1)}= -\cos x $$ Делаем вывод, что косинус не должен оказаться...

Всем понятно, что на экзамене чувствуешь себя иначе, чем в обычной жизни. Без волнения никак. Нервы сдают даже у самых стойких. Поэтому сдавать экзамен нужно учиться: не засиживаться на одной задаче, лучше потом к ней еще раз вернуться; искать разные подходы – не подошел один,...

Решим интересное уравнение. Оно логарифмическое, но оно -  тригонометрическое! Задача. Решить уравнение. $$\log_{\cos 2x-\sin 2x} (1-\cos x-\sin x)=1$$ Уравнение равносильно системе $$\begin{Bmatrix}{ \cos 2x-\sin 2x >0}\\{ \cos 2x-\sin 2x \neq 1}\\{\cos 2x-\sin 2x =1-\cos x-\sin x }\end{matrix}$$   $$\cos^2x-\sin^2x-2\sin x\cos x =\cos^2x+\sin^2x -\cos x-\sin x$$ $$2\sin^2x+2\sin x\cos x-\cos x-\sin x=0$$ $$2\sin x(\sin x...

В этой статье приведен еще один редкий способ решения уравнений. Утверждение. Если функция $y=f(x)$ монотонно возрастает, то уравнения $f(x)=x$ и $f(f(x)=x$ имеют одно и то же множество корней. Следствие. Если $n$ - натуральное число, а функция $y=f(x)$ монотонно возрастает, то уравнения $f(x)=x$ и и $f(f(\ldots f(x))\ldots)=x$ имеют...

В этой статье приведен очень необычный способ решения уравнения. Даже два способа. Оба они тесно связаны с геометрией. Это тот случай, когда геометрия помогает алгебре. Задача. Решить уравнение. $$\sqrt{x^2-5x\sqrt{2}+25}+\sqrt{x^2-12x\sqrt{2}+144}=13$$ Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12 и гипотенузой 13. Пусть в нем проведена биссектриса прямого угла, длина...

В этой статье научимся отбирать корни в задании 13 ЕГЭ с помощью двойного неравенства. Решать сами уравнения здесь не будем, только подробно разберем отбор корней. Задача 1. Предположим, вы решили тригонометрическое уравнение и ваш ответ на пункт а) такой: $\frac{\pi}{4}+\pi k$. Отбор нужно произвести на...

Два тригонометрических уравнения, использующих метод введения дополнительного угла. Задача 1. Решить уравнение: $$\sqrt{6}(\sin x+\cos x)+\sqrt{2}(\sin x-\cos x)=2$$ $$\sqrt{6}\sin x+\sqrt{6}\cos x+\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}\cos x=2$$ $$(\sqrt{6}+\sqrt{2})\sin x+(\sqrt{6}-\sqrt{2})\cos x=2$$ Вводим дополнительный угол: $A\sin x+B\cos x=R\sin (x+\varphi)$, $R=\sqrt{A^2+B^2}$, $\sin \varphi=\frac{B}{R}, \cos \varphi=\frac{A}{R}$. Тогда у нас $R=4$, $\sin \varphi=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}, \cos \varphi=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$. Делаем вывод, что $\varphi=\frac{\pi}{12}$, так...

Сегодня – интересное тригонометрическое уравнение. Нашла в группе ВК, на которую я подписана. Задача. Решить уравнение. $$\sin x=\operatorname{tg}12^{\circ}\cdot \operatorname{tg}48^{\circ} \cdot  \operatorname{tg}54^{\circ} \cdot  \operatorname{tg}72^{\circ}$$ Решение. [spoiler] Известна формула тангенса суммы: $$\operatorname{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg} \beta}{1-\operatorname{tg}\alpha\cdot \operatorname{tg} \beta }$$ Для двух равных углов $$\operatorname{tg}(2\alpha)=\frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg^2}\alpha}$$ Воспользуемся этой формулой, чтобы получить тангенс $3\alpha$: $$\operatorname{tg}(\alpha+2\alpha)=\frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg} 2\alpha}{1-\operatorname{tg}\alpha\cdot \operatorname{tg} 2\alpha }=\frac{\operatorname{tg}\alpha +\frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg^2}\alpha}}{1-\operatorname{tg}\alpha \cdot\frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg^2}\alpha}}$$   $$\operatorname{tg}(3\alpha)=\frac{\operatorname{tg}\alpha-\operatorname{tg^3}\alpha+2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg^2}\alpha}\div \frac{1-\operatorname{tg^2}\alpha-2\operatorname{tg^2}\alpha}{1-\operatorname{tg^2}\alpha}=\frac{3\operatorname{tg}\alpha-\operatorname{tg^3}\alpha...

В этой статье предложены интересные уравнения и еще более интересные методы их решения. Задача 1. Решить уравнение. $$\mid 2\sqrt{x}+1-x \mid +\mid x-2\sqrt{x}+2 \mid=7$$ Сразу возникает мысль о замене. Какую замену ввести, чтобы максимально упростить уравнение? Давайте введем такую: $$ x-2\sqrt{x}=t$$ Тогда $$\mid 1-t \mid +\mid t+2 \mid=7$$ Тогда $t$ - такая...

Неравенство, которое может сначала испугать, а оказывается, что его может решить и школьник 7 класса, и система с некрасивыми числами рассмотрены в этой статье. 1.Решите неравенство: $$\sqrt{32s^{52752}-16s^{105504}-16}+11s^{466436}-78<0$$ Неравенство выглядит жутковато, но нас не испугать. Мы знаем, что подкоренное выражение неотрицательно. А если приглядеться, то можно под корнем углядеть...

Тригонометрические уравнения в этих заданиях объединены в системы с неравенствами. Неравенства помогают отобрать корни после решения уравнения. Уравнения простые, только пара из них требуют введения дополнительного угла. Поэтому с них можно начинать подготовку к решению заданий 13 профильного ЕГЭ. Задача 1. Решите систему: $$\begin{Bmatrix}{1-h\geqslant 0}\\{-1-h \leqslant...

Иногда на глаза попадаются такие вот не совсем уж банальные случаи - хотя случай-то простой - что хочется их решить и поделиться решением. Выглядит, да, пугающе. Но это только вид такой страшный - а уравнение совсем простое. Вот вам пример, когда не надо пугаться вида...

  1.Решить уравнение: $$2\log_8 2^{4x}=2^{\log_{\sqrt{2}} 2}$$ Решение: справа вполне можно получить число, применив простые приемы: $$2\log_8 2^{4x}=2^{2\log_2 2}$$ $$2\log_8 2^{4x}=2^2$$ $$\log_8 2^{4x}=2$$ Превращаем двойку справа в логарифм: $$\log_8 2^{4x}=\log_8 64$$ Приравниваем подлогарифмические выражения: $$2^{4x}=64$$ $$2^{4x}=2^6$$ $$4x=6$$ $$x=1,5$$ Проверяем, подходит ли полученный корень по ОДЗ: да, вполне. Ответ: $x=1,5$   2.Решить уравнение: $$10^{\lg_(\lg {\sqrt{x}})}-\lg x+\lg x^2 – 3=0$$ ОДЗ: $x>0$ Решение: $$\lg {\sqrt{x}}-\lg x+2\lg x – 3=0$$ $$\frac{1}{2}\lg...

1. Решить уравнение. $$4 \cos^2 {3x}-4 \cos(3x-\frac{\pi}{2})-1=0$$ Решение: преобразуем косинус разности: $$4 \cos^2 {3x}-4 (\cos3x \cdot \cos(\frac{\pi}{2})+\sin3x \cdot \sin(\frac{\pi}{2}))-1=0$$ $$4 \cos^2 {3x}-4 \sin3x -1=0$$ По формуле основного тригонометрического тождества: $$4-4 \sin^2 {3x}-4 \sin 3x -1=0$$ $$4 \sin^2 {3x}+4 \sin 3x -3=0$$ Получили квадратное уравнение относительно $\sin 3x$. Его корни: $$\sin 3x=-1,5$$ Либо $$\sin 3x=0,5$$ Первый корень –...

// // Задание 1. Решите уравнение: $$  \cos^2 x+\sin^4 x=1$$

// // Рассмотрим сегодня несколько тригонометрических уравнений. Задание 1. Решить уравнение: $$\sqrt{1+\sin...

Сегодня будем решать возвратные уравнения. Возвратными называются такие уравнения, в которых коэффициенты, одинаково удаленные от начала и конца, равны между собой. Например: $$2x^5-3x^4-x^3-x^2-3x+2=0$$ ...

// // Несколько интересных уравнений попалось, давайте разберем вместе их...

// // Сегодня порешаем немного заданий с модулями, вспомним, как они раскрываются, будут и уравнения, и неравенства. Поехали… Задание 1. Решить уравнение:

И еще немного уравнений!  Рассмотрим уравнения из заданий  С1 ЕГЭ 2013. Все они разные, есть очень простые, есть посложнее, с логарифмами и с модулями. Задание 1. Решить уравнение:   Уравнение очень просто и быстро решается подбором, только для подобранного...

Всем привет! Сегодня разберем решение нескольких уравнений с выбором корней. Такие задания обычны в ЕГЭ – раньше они шли под номером С1, теперь это 15 задание профильного ЕГЭ.  Предлагаю вашему вниманию задания из ЕГЭ 2013. Задание 1. Решите уравнение:

При решении тригонометрических уравнений могут появиться посторонние корни, если: 1)      Уравнение содержит тангенс или котангенс; 2)      Обе части уравнения умножаются или делятся на выражение, содержащее неизвестное; 3)      Обе части уравнения возводятся в квадрат. При решении тригонометрических уравнений могут быть потеряны корни, если: 1)      Обе части уравнения умножаются или делятся на...

// // В этой статье будут рассмотрены тригонометрические уравнения с корнями. Прежде чем приступить к решению, вспомним, когда появляется опасность потерять корни или приобрести...

// // В этой статье будут рассмотрены тригонометрические уравнения с корнями. Прежде чем приступить к решению, вспомним, когда появляется опасность потерять корни или приобрести...

Предлагаю разбор двух заданий ЕГЭ-2007. Первое - уравнение, второе - неравенство. 1. Решите уравнение: Cразу бросается в глаза показательная левая часть уравнения. Чтобы решить показательное уравнение, нам придется сначала упростить правую часть. В правой видим в знаменателе сумму кубов, давайте...