Условная вероятность: задачи Сириуса и другие

Всем здравствуйте, сегодня мы поговорим о задачах, связанных с условной вероятностью. Разбирать будем прямо на примерах. Сначала решим такую задачу: какова вероятность достать из колоды карт туза два раза подряд, если после первого раза карта возвращается в колоду? Итак, достали туза, вернули карту в колоду, перемешали ее и опа – снова достали туза. Тузов в колоде из 36 карт  - 4. Поэтому вероятность вытащить самую старшую карту из такой колоды - $\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$. Так как  карту возвратили в колоду – мы попросту повторяем эксперимент, то есть вероятность вытащить второго туза тоже $\frac{1}{9}$. Кто читал мои предыдущие статьи, связанные с вероятностью, тот помнит, что в случае, когда должно произойти И одно событие, И другое (произведение событий), мы считаем произведение вероятностей. То есть достать туза дважды можно с вероятностью

$$\frac{1}{9}\cdot \frac{1}{9}=\frac{1}{81}$$

Теперь изменим задачу. Не станем возвращать первого туза, которого мы извлекли с вероятностью $\frac{1}{9}$, в колоду. Теперь в колоде 35 карт и 3 туза. Вероятность достать второго туза изменилась и равна $\frac{3}{35}$, вероятность достать двух тузов теперь равна

$$\frac{1}{9}\cdot \frac{3}{35}=\frac{1}{105}$$

Вот тут мы и подошли к определению условной вероятности. Условной вероятностью A при условии B ($P(A\mid B)$) называется вероятность того, что событие A произойдёт, если известно, что событие B произошло. 

Решим задачу: наугад выбирается число от 1 до 10. Рассмотрим два события:

A — выпало чётное число;

B — выпало число, кратное 5.

Найдем вероятность $P(A\mid B)$ и $P (B \mid A)$. То есть, простыми словами, сначала найдем вероятность, что выбрали четное число при условии, что оно кратно пяти. А кратных пяти у нас два: 5 и 10, поэтому вероятность выбрать из них четное - $\frac{1}{2}$.

Теперь найдем $P (B \mid A)$. Или, по-человечески, найдем вероятность, что выбрали кратное пяти число при условии, что оно четное. Четных у нас всего пять: 2, 4, 6, 8, 10.  Вероятность выбрать из них кратное пяти – а это только число 10 – равна $\frac{1}{5}$.

Условную вероятность можно найти по следующей формуле:

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\bigcap B)}{P(B)}$$

Можно переписать и получим теорему умножения:

$$ P(A\bigcap B)= P(A\mid B)\cdot P(B)$$

Задача 2.

Подбрасываются две монеты. Необходимо найти, чему равна вероятность того, что обе монеты выпали орлом, если известно, что выпал по крайней мере один орёл.

Обозначим два события:

A — обе монеты выпали орлом;

B — хотя бы одна монета выпала орлом.

Решение. Всего при подбрасывании двух монет могут быть такие варианты: OO, PP, OP, PO. То есть вероятность $P(B)$ равна $\frac{3}{4}$.

Найдем вероятность $ P(A\bigcap B)$. Это вероятность пересечения событий, то есть вероятность того, что оба события произошли одновременно:  обе монеты выпали орлом и хотя бы одна выпала орлом. Но вероятность выпадения обоих орлов - $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$. Это и есть вероятность пересечения.

Теперь пользуемся формулой, чтобы найти $ P(A\mid B)$:

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\bigcap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{3}$$

Решим по-другому. Если выпал хотя бы один орел – то это три случая: OO, OP, PO. Благоприятным является только событие OO, то есть искомая вероятность $\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

Задача 3.

Известно, что при броске двух кубиков выпали два чётных числа. Какова вероятность того, что в сумме выпало 8 очков?

Решение. Выпадение 8 очков может реализоваться следующими способами: 24, 22, 26, 42, 44, 46, 62, 64, 66. Всего их 9. В сумме восемь выпадает в случаях 26, 62, 44, то есть в трех случаях из 9 – вероятность $\frac{1}{3}$. Теперь решим с помощью формулы. Вероятность выпадения двух четных чисел равна $P(B)=\frac{3}{6}\cdot \frac{3}{6}=\frac{1}{4}$. Вероятность выпадения таких четных чисел, что в сумме они дадут 8 очков - $\frac{3}{36}$ (см. таблицу).

 Рисунок к задаче 3

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\bigcap B)}{P(B)}=\frac{\frac{3}{36}}{\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}$$

Ответ: $\frac{1}{3}$.

Задача 4.

Имеются три карточки: у одной обе стороны белые, у второй обе стороны чёрные, а у третьей одна сторона белая, а другая — чёрная. Одна из карточек выбирается наугад и кладётся на стол случайной стороной вверх.

Какова вероятность того, что нижняя сторона карточки будет чёрной?

Чему будет равна эта вероятность, если известно, что верхняя сторона оказалась белой?

Решение. У нас 6 сторон всего у трех карточек, половина – черные. Поэтому вероятность, что нижняя сторона окажется черной - $\frac{1}{2}$. Или так: вероятность выбрать карточку с черной стороной - $\frac{2}{3}$, у таких карточек на двоих три черных стороны – вероятность, что черная окажется снизу, $\frac{3}{4}$, в итоге искомая вероятность $\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}=\frac{2}{4}=0,5$.

Найдем вероятность, что нижняя сторона – черная, при условии, что верхняя – белая. Если сверху оказалась белая сторона – значит, мы выбрали либо карточку с обеими белыми сторонами, либо с одной белой. Вероятность выбрать такую карточку $\frac{2}{3}$. Вероятность, что из  этих двух карточек мы выберем нужную - $\frac{1}{2}$ (ляжет она как надо, ведь верхняя – белая по условию). Условная вероятность будет равна

$$P(A\mid B)= \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{3}$$

Если строго по формуле считать, надо найти $P(A\bigcap B)$ - вероятность, что одновременно белая сторона – вверху, черная – внизу. Это значит, надо выбрать единственную карточку – двуцветную, вероятность чего $\frac{1}{3}$, и уложить правильной стороной вниз – вероятность этого $\frac{1}{2}$. Вероятность выбрать правильную карточку И правильно уложить - $\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{6}$. Считаем условную вероятность:

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\bigcap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}$$

Ответ: $\frac{1}{3}$

Задача 5.

Кубик бросают дважды. Какова вероятность, что выпало 6 очков, при условии, что сначала выпало 2?

Решение. Таких комбинаций всего ничего: 15, 24, 33, 42, 51. Благоприятная комбинация единственная – 24. Таким образом, условная вероятность равна $\frac{1}{5}$.

Ответ: 0,2.

Как видите, решение «по формуле» не всегда обязательно. Иногда гораздо проще без нее.

Задача 6.

Кубик бросают один или несколько раз. Сумма выпавших очков – 3. Какова вероятность, что было 2 броска?

Решение. Можно было выбросить три очка сразу, первым броском, вероятность этого $\frac{1}{6}$. Можно – двумя бросками (21 или 21), вероятность этого $\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$, можно – за три броска (1, 1 и 1) – вероятность этого $\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{216}$. Поскольку мы ИЛИ выбросили бы сразу три очка, ИЛИ сделали бы это за два, ИЛИ за один – здесь речь идет о сумме вероятностей:

$$P(В)= \frac{1}{6}+\frac{1}{36}\cdot 2+\frac{1}{216}=\frac{49}{216}$$

Если наложить условие, что это было сделано за два броска, то

$$P(A\bigcap B)= \frac{1}{36}\cdot 2=\frac{1}{18}$$

Условная вероятность

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\bigcap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{18}}{\frac{49}{216}}=\frac{12}{49}$$

Ответ: $\frac{12}{49}=0,245$.