Графы-деревья и вероятность

Сегодня поговорим про графы в теории вероятностей, рассмотрим задачи, решаемые построением древовидного графа.

Задача 1.

При подготовке к экзамену школьник выучил 20 из 25 вопросов. На экзамен он пришел первым и последовательно вытянул три вопроса. Оценка «удовлетворительно» ставится, если школьник ответил на один вопрос, «хорошо» - если ответил на два и «отлично» - при ответе на все три вопроса. Найдите вероятность получения им всех трех оценок – от «удовлетворительно» до «отлично».

Решение. Нарисуем граф-дерево. Сначала он будет выглядеть так:

Начинаем строить граф

Вероятность вытащить первым знакомый вопрос - $\frac{20}{25}$, незнакомый - $\frac{5}{25}$. После этого остается 24 вопроса. Если первым школьник вытащил выученный вопрос, то вероятность снова вытащить знакомый вопрос - $\frac{19}{24}$, а незнакомый - $\frac{5}{24}$. Если же первым школьник вытащил невыученный вопрос, то вероятность снова вытащить знакомый вопрос - $\frac{20}{24}$, а незнакомый - $\frac{4}{24}$. Граф приобретает вид:

Вытаскиваем второй вопрос

Наконец, третий вопрос, продолжаем граф, осталось 23 вопроса:

Вытаскиваем третий вопрос

Таким образом, вытащить все три «плюса» - то есть все вопросы, которые знаешь:

$$P(5)=\frac{20}{25}\cdot \frac{19}{24} \cdot \frac{18}{23}=\frac{6840}{13800}=\frac{342}{690}=\frac{171}{345}=\frac{57}{115}$$

Подпишем оценки для удобства

Вероятность получить «хорошо»:

$$P(4)=\frac{20}{25}\cdot \frac{19}{24} \cdot \frac{5}{23}+\frac{20}{25}\cdot \frac{5}{24} \cdot \frac{19}{23}+\frac{5}{25}\cdot \frac{20}{24} \cdot \frac{19}{23}=\frac{3\cdot 20\cdot 19\cdot 5}{25\cdot 24 \cdot 23}=\frac{5700}{13800}=\frac{57}{138}=\frac{19}{46}$$

Вероятность «тройки»:

$$P(3)=\frac{20}{25}\cdot \frac{5}{24} \cdot \frac{4}{23}+\frac{5}{25}\cdot \frac{20}{24} \cdot \frac{4}{23}+\frac{5}{25}\cdot \frac{4}{24} \cdot \frac{20}{23}=\frac{3\cdot 20\cdot 4\cdot 5}{25\cdot 24 \cdot 23}=\frac{1200}{13800}=\frac{12}{138}=\frac{2}{23}$$

Вероятность получить «неуд»:

$$P(2)=\frac{5}{25}\cdot \frac{4}{24} \cdot \frac{3}{23}=\frac{60}{13800}=\frac{1}{230}$$

Ответ: $P(5)= \frac{57}{115}$, $P(4)= \frac{19}{46}$, $P(3)= \frac{2}{23}$, $P(2)= \frac{1}{230}$.

Задача 2.

В ящике лежат 12 яблок сорта «Ранет», 20 – сорта «Грушовка» и 18 – сорта «Белый налив».  Вероятность того, что яблоко не испорчено для сорта «Ранет» составляет 90%, для «Грушовки» - 60% и для «Белого налива» - тоже 90%. Из ящика случайным образом достали яблоко. Найдите вероятность того, что оно не испорчено.

Решение. Вероятность выбрать «Ранет» - $\frac{12}{50}$, вероятность выбрать хорошее яблоко «Ранет» - $\frac{12}{50}\cdot 0,9$.

Вероятность выбрать «Грушовку» - $\frac{20}{50}$, вероятность выбрать хорошее яблоко этого сорта - $\frac{20}{50}\cdot 0,6$.

Вероятность выбрать «Белый налив» - $\frac{18}{50}$, вероятность выбрать хорошее яблоко «Белый налив» - $\frac{18}{50}\cdot 0,9$.

Находим вероятность, что выбранное яблоко – хорошее:

$$P=\frac{12}{50}\cdot 0,9+\frac{20}{50}\cdot 0,6+\frac{18}{50}\cdot 0,9=0,54+0,24=0,78$$

Ответ: 0,78

Задача 3.

Обувная компания производит ботинки на трех фабриках. Первая из них производит 25% всей обуви, вторая – 60% и третья – 15% обуви. На первой фабрике процент брака - $\frac{1}{100}$, на второй - $\frac{1}{200}$ и на  третьей 2% брака. Контролер выбирает наугад одну пару из партии для проверки. Какова вероятность, что она окажется бракованной?

Решение. Вероятность выбрать пару, произведенную первой фабрикой - $\frac{1}{4}$, вероятность, что пара эта окажется бракованной - $\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{100}=\frac{1}{400}$.

Вероятность выбрать пару, произведенную второй фабрикой - $\frac{6}{10}$, вероятность, что пара эта окажется бракованной - $\frac{6}{10}\cdot \frac{1}{200}=\frac{3}{1000}$.

Вероятность выбрать пару, произведенную третьей фабрикой - $\frac{15}{100}$, вероятность, что пара эта окажется бракованной - $\frac{15}{100}\cdot \frac{2}{100}=\frac{3}{1000}$.

Находим вероятность, что выбранная пара – бракованная:

$$P=\frac{1}{400}+\frac{3}{1000}+\frac{3}{1000}=0,0085$$

Ответ: 0,0085

Задача 4.

В каждой из 4-ех коробок лежат 4 шоколадные конфеты и 6 карамелек. Из первой коробки наугад достают конфету и перекладывают во вторую. Затем из второй коробки наугад достают конфету и перекладывают в третью. После этого из третьей коробки наугад достают конфету. Найти вероятность того, что эта конфета – шоколадная.

Решение. Нарисуем граф -дерево.

Рисунок к задаче 4

Теперь считаем вероятность:

$$P=\frac{4}{10}\cdot \frac{5}{11} \cdot \frac{5}{11}+\frac{4}{10}\cdot \frac{6}{11} \cdot \frac{4}{11}+\frac{6}{10}\cdot \frac{4}{11} \cdot \frac{5}{11}+\frac{6}{10}\cdot \frac{7}{11} \cdot \frac{4}{11}=\frac{100+96+120+168}{1210}=\frac{484}{1210}=\frac{242}{605}=0,4$$

Ответ: 0,4