Диаграммы Эйлера и вероятность - 2

Задача 6.

Про случайные события A и B известно, что они несовместные и что $P(A) = 0,3$, а $P(B) = 0,4$. Найдите вероятности событий $P(\overline{A}), P(\overline{B}), P(A\bigcap B), P(A\bigcup B)$.

Решение.

$$P(\overline{A})=1-P(A)=1-0,3=0,7$$

$$ P(\overline{B})=1-P(B)=1-0,4=0,6$$

Событие $A\bigcap B$ означает, что произошли оба события, поэтому

$$ P(A\bigcap B)=P(A)+ P(B)=0,3+ 0,4=0,7$$

Если события несовместные, то $P(A\bigcup B)=0$.

 

Задача 7.

Могут ли события быть несовместными, если:
а) $P(A) = 0,5, P(B) = 0,3$; б) $P(A) = 0,5, P(B) = 0,5$; в) $P(A) = 0,4, P(B) = 0,7$; г) $P(A) = 0,1, P(B) = 0,1$?

Решение.

а) Да, так как сумма вероятностей меньше 1;

б) Да, сумма вероятностей равна 1 (не превышает).

в) Нет, сумма вероятностей больше 1.

г) Да, по той же причине – сумма вероятностей меньше 1.

 

Задача 8.

Нарисуйте события A, B на диаграмме Эйлера и найдите $P(A \bigcup B)$, если:

а) $P(A) = 0,5, P(B) = 0,3, P(A \bigcap B) = 0,2$;
б) $P(A) = 0,4, P(B) = 0,7, P(A \bigcap B) = 0,4$;
в) $P(A) = 0,4, P(B) = 0,3, P(A \bigcap B) = 0$;

г) $P(A) = 0,8, P(B) = 0,5, P(A \bigcap B) = 0,3$.

Решение.

Рисунок к задаче 8

Для случая а)

$$ P(A \bigcup B)= P(A)+ P(B)- P(A \bigcap B)=0,5+0,3-0,2=0,6$$

То же и для последнего случая (г):

$$ P(A \bigcup B)= P(A)+ P(B)- P(A \bigcap B)=0,8+0,5-0,3=1$$

Для случая б)

$$ P(A \bigcup B)= P(A)+ P(B)- P(A \bigcap B)=0,4+0,7-0,4=0,7$$

И для случая в)

$$ P(A \bigcup B)= P(A)+ P(B)- P(A \bigcap B)=0,4+0,3-0=0,7$$

 

Задача 9.

Нарисуйте события A, B на диаграмме Эйлера и найдите $P(A \bigcap B)$, если:

а) $P(A) = 0,7, P(B) = 0,5, P(A \bigcup B) = 0,7$;
б) $P(A) = 0,6, P(B) = 0,3, P(A \bigcup B) = 0,7$;
в) $P(A) = 0,3, P(B) = 0,3, P(A \bigcup B) = 0,6$;

г) $P(A) = 0,9, P(B) = 0,8, P(A \bigcup  B) = 1$.

Решение.

Рисунок к задаче 9

Для случая а)

$$ P(A \bigcap B) = P(A)+ P(B)- P(A \bigcup B)=0,7+0,5-0,7=0,5$$

Для случая б)

$$ P(A \bigcap B) = P(A)+ P(B)- P(A \bigcup B)=0,6+0,3-0,7=0,2$$

Для случая в)

$$ P(A \bigcap B) = P(A)+ P(B)- P(A \bigcup B)=0,3+0,3-0,6=0$$

Для случая г)

$$ P(A \bigcap B) = P(A)+ P(B)- P(A \bigcup B)=0,9+0,8-1=0,7$$

 

Задача 10.

Известно, что $P(A) = 0,4, P(B) = 0,5, P(A \bigcap B) = 0,3$. Найдите вероятности событий:

а) $P(A \bigcup B)$; б) $P(\overline{A \bigcup B})$; в) $P(\overline{A} \bigcup \overline{B})$; г) $P(\overline{A}\bigcap \overline{B})$; д) $P(A\bigcap \overline{B})$; е) $P(\overline{A} \bigcup B)$.

Решение. Под а) – обычное пересечение событий:

$$ P(A \bigcup B)= P(A)+ P(B)- P(A \bigcap B)=0,4+0,5-0,3=0,6$$

Пересечение событий

б) Если надо найти вероятность противоположного события, мы знаем, как это сделать:

$$P(\overline{A \bigcup B})=1- P(A \bigcup B)=1-0,6=0,4$$

Событие, обратное пересечению

в) Что есть объединение противоположных событий? Это вот что: либо произошло событие, противоположное A, либо произошло событие, противоположное В, либо оба.

Рисунок для случая в)

$$ P(\overline{A} \bigcup \overline{B})=1-P(A \bigcap B)=1-0,3=0,7$$

г) Пересечение событий, противоположных А и B, это – на человеческий – означает, что произошли оба противоположных события или одно из них.

Произошли оба противоположных события

$$ P(\overline{A}\bigcap \overline{B})=1- P(A \bigcup B)=1-0,6=0,4$$

д) Разберемся с этим случаем. Произошло А и произошло событие, противоположное B.

Для случая д)

$$ P(A\bigcap \overline{B})=P(A)- P(A \bigcap B)=0,4-0,3=0,1$$

е) В этом случае, наоборот, произошло В и событие, противоположное А:

Для случая е)

$$ P(\overline{A} \bigcup B)=P(B)- P(A \bigcap B)=0,5-0,3=0,2$$