Диаграммы Эйлера и вероятность

Решаем упражнения из Бунимовича-Булычева, связанные с изображением вероятностей с помощью диаграмм Эйлера.

Задача 1. Бросают игральный кубик. Изобразите на диаграмме Эйлера все возможные исходы этого опыта и следующие случайные события:
A = «выпадет тройка»;
B = «выпадет нечётное число»;

С = «выпадет больше трёх очков»;
D = «выпадет не меньше четырёх очков».

Решение. Тройка – нечетное число. Думаю, это событие (А) должно находиться внутри события В. В случае именно с кубиком события С и D совпадут. Поэтому диаграмма будет такой:

 Рисунок к задаче 1

Задача 2. Бросают два кубика. Найдите события, противоположные к следующим событиям:

A = «на первом кубике выпадет больше очков, чем на втором»;
B = «хотя бы на одном из кубиков выпадет чётное число очков»;
С = «одно из выпавших чисел будет делиться на другое»;

D = «оба выпавших числа будут простыми».

Решение. Начнем с D. Обратным событием $\overline{D}$ будет такое: «простым не является ни одно из выпавших чисел».

Для А противоположным будет событие $\overline{A}$: «на первом выпадет столько же, сколько на втором, или меньше».

Для В противоположным будет событие $\overline{B}$: "на обоих выпадет нечетное".

Для С противоположным будет событие $\overline{C}$: "выпадет 1,2 или 3" – эти числа не могут делиться на другие.

Задача 3. Четыре раза подряд бросают монету. Найдите события, противоположные к следующим событиям, и посчитайте количество благоприятных для них исходов:
A = «орлов и решек выпадет поровну»;
B = «орлов выпадет больше, чем решек»;

С = «орлов выпадет меньше, чем решек»;

D = «ни разу не выпадет два орла подряд».

Решение.

Для А противоположным будет событие $\overline{A}$: «выпадет разное количество орлов и решек».

Для В противоположным будет событие $\overline{B}$: "орлов выпадет столько же, сколько решек, или меньше".

Для С противоположным будет событие $\overline{C}$: "орлов выпадет столько же, сколько решек, или больше".

Для D противоположным будет событие $\overline{D}$: "хотя бы однажды выпадет два орла подряд".

Задача 4.

Баскетболист готовится выполнить три штрафных броска. За каждый точный бросок его команда получает одно очко. События A , A , A означают, что соответствующий бросок окажется точным. Выразите через эти события следующие события:

$B_0$ = «команда не получит ни одного очка»; 

$B_1$ = «команда получит одно очко»; 

$B_2$ = «команда получит два очка»; 

$B_3$ = «команда получит три очка».

Решение. Команда не получит ни одного очка, если баскетболист промахнется И первым броском, И вторым, И третьим. То есть имеем произведение трех событий $\overline{A}$:  $\overline{A_1}\cdot \overline{A_2}\cdot \overline{A_3}$.

Команда получит одно очко, если выиграет один, любой, матч. Это может быть как первый, так и второй, или третий  матч. При этом остальные два она должна проиграть. Так что

$$B_1=A_1\cdot \overline{A_2}\cdot \overline{A_3}+\overline{A_1}\cdot A_2\cdot \overline{A_3}+\overline{A_1}\cdot \overline{A_2}\cdot A_3$$

Команда получит два очка, если проиграет один, любой, матч. Это может быть как первый, так и второй, или третий  матч. При этом остальные два она должна выиграть. Так что

$$B_2=A_1\cdot A_2\cdot \overline{A_3}+\overline{A_1}\cdot A_2\cdot A_3+A_1\cdot \overline{A_2}\cdot A_3$$

Для получения трех очков надо выиграть все три матча,

$$B_3= A_1\cdot A_2\cdot A_3$$

Задача 5.

Из ящика, в котором находятся 2 красных и 2 синих носка, одновременно вытаскивают один за другим 2 носка. Событие $A_1$ состоит в том, что первый носок красный, событие $A_2$ — что второй носок красный. Выразите через них следующие события:

A = «вынуты два красных носка»;

B = «вынуты два синих носка»;
С = «вынуты носки одного цвета»;

D = «вынуты носки разных цветов».

Решение. А - свершилось И $A_1$, И $A_2$:

$$A=A_1\cdot A_2$$

B – совершилось $\overline{A_1}$ И $\overline{A_2}$:

$$B=\overline{A_1}\cdot \overline{A_2}$$

$C$ - совершилось либо А, либо В:

$$C= A_1\cdot A_2+\overline{A_1}\cdot \overline{A_2}$$

$D$ - совершилось первое, и при этом не совершилось второе, или совершилось второе, но не совершилось первое:

$$D= A_1\cdot\overline{A_2}+\overline{A_1}\cdot A_2$$