Разделы сайта

Категория:

Площади фигур - задачи.

26.07.2014 11:50:23 | Автор: Анна

Кто подзабыл формулы - тому сюда. Еще очень удобно открыть статью с формулами в соседнем окне, чтобы они были перед глазами.

1. Найдите площадь параллелограмма, если две его стороны равны 14 и 12, а угол между ними равен 30°.

По формуле площади параллелограмма через длины его сторон и синус угла между ними: S=absin{alpha}=14*12*sin{30circ}=168*0,5=84

2. Периметр равностороннего треугольника равен 30. Найдите его площадь, делённую на sqrt{3} .

Для того, чтобы найти площадь, необходимо знать сторону. Нам дан периметр, и, поскольку все стороны равны, найдем длину стороны: a=P/3=30/3=10 . Теперь воспользуемся формулой площади равностороннего треугольника: $S={a^2sqrt{3}}/4={10^2sqrt{3}}/4=25sqrt{3}$ . Разделим на sqrt{3} и запишем ответ: 25.

Однако, формулу площади равностороннего треугольника не все помнят. Как же решить эту задачу без формулы? Проведем высоту треугольника из вершины к основанию. Так как треугольник равносторонний, то высота его будет и медианой, и разделит основание пополам:

ploshadi23

Имеем прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 и катетом 5. По теореме Пифагора находим высоту: $h=sqrt{10^2-5^2}=sqrt{75}=5sqrt{3}$

Теперь по общеизвестной формуле площади треугольника находим: S={ah}/2={10*5sqrt{3}}/2=25sqrt{3} . В ответ записываем результат, разделенный на sqrt{3} .

Ответ: 25.

3. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, а угол, лежащий напротив основания, равен 120°. Найдите площадь треугольника, делённую на sqrt{3} .

Можем найти высоту треугольника и основание, воспользовавшись определением косинуса и синуса, и затем площадь. Также нам известны две боковые стороны и угол между ними, поэтому можем воспользоваться формулой S={absin{alpha}}/2 . Решим задачу обоими способами: h=10sin{30circ}=5 ,

b=10cos{30circ}=5sqrt{3} , здесь b - половина основания.

Находим площадь: S={ah}/2=5*5sqrt{3}=25sqrt{3} .

Теперь вторым способом:

S={absin{alpha}}/2={10*10*sin{120circ}}/2=50*{sqrt{3}/2}=25sqrt{3}

Ответ: S=25sqrt{3}

4. В треугольнике одна из сторон равна 10, другая равна 10sqrt{3} , а угол между ними равен 60°. Найдите площадь треугольника.

Второй способ из предыдущей задачи - единственный для этой задачи:

S={absin{alpha}}/2={10*10sqrt{3}*sin{60circ}}/2=50*{3/2}=75

Ответ: 75.

5. В прямоугольнике одна сторона равна 6, а диагональ равна 10. Найдите площадь прямоугольника.

Для того, чтобы найти площадь, нужна вторая сторона. Ее можно найти по теореме Пифагора: $h=sqrt{10^2-6^2}=sqrt{64}=8$

Найдем площадь: S=ab=8*6=48

Ответ: 48.

6. Сторона ромба равна 5, а диагональ равна 6. Найдите площадь ромба.

Как известно, диагонали ромба перпендикулярны друг другу и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому треугольник АВС прямоугольный, его гипотенуза 5, один из катетов 3. Второй катет можем найти по теореме Пифагора: $h=sqrt{5^2-3^2}=sqrt{16}=4$ . Значит, диагонали ромба - 6 и 8, а зная их, найдем площадь: $S={d_1d_2}/2={8*6}/2=24$

Ответ: 24.

7. Периметр ромба равен 24, а косинус одного из углов равен {2sqrt{2}}/3 . Найдите площадь ромба.

Здесь воспользуемся формулой для отыскания площади параллелограмма по двум сторонам и синусу угла между ними: S=absin{alpha} . Но у нас имеется косинус, а не синус. Найдем синус из основного тригонометрического тождества:

$sin{alpha}=sqrt{1- ({2/3}*sqrt{2})^2}=sqrt{1-{8/9}}=sqrt{1/9}=1/3$ .

Все стороны ромба равны, найдем их, зная периметр: a=P/4=24/4=6

Площадь ромба: S=absin{alpha}=6*6*{1/3}=12

Ответ: 12.

8. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, основание — {10sqrt{2-sqrt{2}}} , а угол, лежащий напротив основания, равен 45°. Найдите площадь треугольника, деленную на sqrt{2} .

В этой задаче нас хотят запутать, задав в условии основание треугольника. На самом деле совершенно неважно, каково его основание, так как треугольник равнобедренный, и нам известны боковые стороны и угол между ними, значит, можем воспользоваться формулой площади по двум сторонам и углу между ними:

S={absin{alpha}}/2={10*10*sin{45circ}}/2=50*{sqrt{2}/2}=25sqrt{2}

Делим результат на sqrt{2} и записываем ответ:

Ответ: 25

9. В прямоугольнике диагональ равна 10, угол между ней и одной из сторон равен 30°, длина этой стороны 5sqrt{3} . Найдите площадь прямоугольника, деленную на sqrt{3} .

ploshadi27 Найдем вторую сторону четырехугольника, чтобы потом определить площадь. Воспользуемся определением синуса, так как ищем мы противолежащий катет:

sin{30circ}=a/10

a=10sin{30circ}=5

Площадь равна: S=ab={5*5sqrt{3}}=25sqrt{3}

Есть другой путь решения этой задачи, если сообразить, что угол между диагоналями равен 60circ . Тогда площадь можем отыскать так: $S={d_1d_2sin{varphi}}/2={10*10*sin{60circ}}/2=25sqrt{3}$

Делим нашу найденную площадь на sqrt{3} , и записываем ответ: 25.

10. Радиус круга равен 3, а длина ограничивающей его окружности равна 6{pi} .Найдите площадь круга. В ответ запишите площадь, деленную на .

Если дан радиус круга, то мы без проблем определим его площадь и без знания длины окружности, верно?

$S={pi}r^2=9{pi}$ .

Делим результат на , получаем 9 и записываем это число в ответ.

11. Боковая сторона трапеции равна 5, а один из прилегающих к ней углов равен 30circ . Найдите площадь трапеции, если её основания равны 6 и 9.

Найдем высоту трапеции. Катет, лежащий против угла в 30circ , вдвое меньше гипотенузы, поэтому высота равна 2,5.

Определяем площадь: S={{a+b}/2}h={{6+9}/2}2,5=7,5*2,5=18,75

Ответ: 18,75

12. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 92, а отношение соседних сторон равно 3:20.

Полупериметр прямоугольника равен 46. Полупериметр - это сумма длинной и короткой сторон. Их отношение равно 3:20, то есть три части и двадцать частей. Тогда одна часть: 46/23=2 . Тогда длинная сторона - 40 ( 20*2=40 ), а короткая - 6. Площадь прямоугольника S=40*6=240

Ответ: 240.

13. Периметр равнобедренного треугольника равен 392, а основание – 192. Найдите площадь треугольника.

Тут годится единственная формула - это формула Герона: S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} . Раз треугольник равнобедренный, значит, можно их найти: a=b={P-c}/2={392-192}/2=100 . p - половина периметра: p={P}/2={392}/2=196 .