Определение отношения длин отрезков

Задача попала ко мне случайно. Я люблю такие задачи, поэтому с удовольствием ее решила. Кстати, по теореме Менелая она, возможно, решится куда проще и быстрее))). Задача была найти решение в обход этой теоремы.

Задача. Найти отношение длин отрезков $AK : KF$, если $BF : FC=3 :2$, $AE : EC=6: 2,5$.

Рассмотрим треугольники $ABE$ и $EBC$.

Рисунок 1

Так как у них одна и та же высота, то их площади относятся как $\frac{S_{\Delta ABE}}{ S_{\Delta EBC}}=\frac{6}{2,5}=\frac{12}{5}$. Тогда, если площадь всего треугольника $ABC$ равна $M$, то

$$S_{\Delta ABE}=\frac{12M}{17}$$

$$S_{\Delta EBC}}=\frac{5M}{17}$$

Рассмотрим треугольники $ABF$ и $AFC$.

Рисунок 2

Так как у них одна и та же высота, то их площади относятся как $\frac{S_{\Delta ABF}}{ S_{\Delta AFC}}=\frac{3}{2}$. Тогда, если площадь всего треугольника $ABC$ равна $M$, то

$$S_{\Delta ABF}=\frac{3M}{5}$$

$$S_{\Delta AFC}}=\frac{2M}{5}$$

Рассмотрим теперь треугольники $BEF$ и $FEC$.

Рисунок 3

У этих треугольников также  одна и та же высота, и их площади относятся как $\frac{S_{\Delta BEF}}{ S_{\Delta FEC}}=\frac{3}{2}$. Тогда, если площадь всего треугольника $EBC$ равна $\frac{5}{17}M$, то

$$S_{\Delta BEF}=\frac{5M}{17}\cdot \frac{3}{5}=\frac{3M}{17}$$

$$S_{\Delta FEC}}=\frac{5M}{17}\cdot \frac{2}{5}=\frac{2M}{17}$$

Обратимся к треугольникам $AKC$ и $BKC$.

Рисунок 4

Их площади нам неизвестны, поэтому обозначим их $a$ и $b$. Тогда

$\frac{S_{\Delta AKE}}{ S_{\Delta EKC}}=\frac{6}{2,5}=\frac{12}{5}$, а

$\frac{S_{\Delta BKF}}{ S_{\Delta FKC}}=\frac{3}{2}$.

Площадь треугольника $BKF$ равна $\frac{3b}{5}$, площадь треугольника $FKC$ равна $\frac{2b}{5}$, площадь треугольника $AKE$ равна $\frac{12a}{17}$, площадь треугольника $EKC$ равна $\frac{5a}{17}$.

Тогда треугольник $AFC$ составлен из треугольников $AKC$ (площадью $a$) и $KFC$ (площадью $\frac{2b}{5}$):

$$a+\frac{2b}{5}= S_{\Delta AFC}}=\frac{2M}{5}$$

Разделим на $\frac{2}{5}$:

$$\frac{5a}{2}+b= M$$

Или

$$a+b+\frac{3a}{2}=M$$

Рисунок 5

Отсюда делаем вывод, что площадь треугольника $ABK$ равна $\frac{3a}{2}$.

Тогда, если треугольник $ABE$ составлен из $AKE$ и $AKB$, то можно записать:

$$ S_{\Delta ABE}}= S_{\Delta AKE}}+ S_{\Delta AKB}}$$

$$ \frac{12M}{17}= \frac{12a}{17}+ \frac{3a}{2}$$

Разделим на $\frac{12}{17}$:

$$ M= a+ \frac{51a}{24}=\frac{75a}{24}$$

А так как полная площадь треугольника $ABC$ складывается из $AKC$ (площадью $a$) и $BKC$ (площадью $b$) и $ABK$ (площадью $\frac{3a}{2}$), то

$$a+b+\frac{3a}{2}=\frac{75a}{24}$$

Откуда $b=\frac{15a}{24}=\frac{5a}{8}$.

Тогда

$$\frac{AK}{KF}=\frac{ S_{\Delta AKC}}{ S_{\Delta KFC}}=\frac{a}{\frac{2b}{5}}=\frac{a}{\frac{2}{5}\cdot\frac{5a}{8}}=\frac{a}{\frac{a}{4}}=\frac{4}{1}$$

Ответ: $\frac{AK}{KF}=\frac{4}{1}$.