8 способов найти площадь одного треугольника

Доброго дня всем читателям! В этой статье представлены 8 решений одной и той же задачи, великодушно предоставленные моими замечательными и очень талантливыми коллегами, которыми я не устаю восхищаться. С их ведома и разрешения эта статья увидела свет. Итак, встречайте!

Задача. Определить площадь треугольника, изображенного на клетчатой решетке.

Решение 1. По формуле Пика.

А вы знали, что с помощью данной формулы можно находить площади фигур, даже если их вершины не совпадают с узлами решетки?

$$S=4+\frac{4}{2}-1$$

Ответ: 5.

Решение 2, предложенное Людмилой Скрипкой и Галиной Анатольевной Шереметьевой одновременно.

$$S_{ADB}=\frac{DB\cdot H}{2}$$

Высота треугольника $ADB$ равна 6 клеткам, поэтому

$$S_{ADB}=\frac{2\cdot 6}{2}=6$$

$$S_{СDB}=\frac{DB\cdot h}{2}$$

Высота треугольника $CDB$ равна 1 клетке, поэтому

$$S_{СDB}=\frac{2\cdot 1}{2}=1$$

$$S_{ABC}=S_{ADB}-S_{СDB}=6-1=5$$

Ответ: 5.

Решение 3, предложенное коллегой, попросившей ее не упоминать.

Искомая площадь  треугольника состоит из двух площадей: белого треугольника, и зеленого. Площадь белого найти не проблема: его основание 3, высота - две клетки. Сложность в определении площади зеленого треугольника. Делаем дополнительное построение, как показано на рисунке. Закрашенные треугольники подобны, по отношению длин оснований видно, что коэффициент подобия - 2. Поэтому отношение их высот (у синего высота - $H$, у зеленого - $h$) - 2.

$$\frac{H}{h}=2$$

Но сумма высот закрашенных треугольников равна 4, то есть

$$H+h=4$$

Или, с учетом коэффициента подобия,

$$2h+h=4$$

$$h=\frac{4}{3}$$

Тогда площадь зеленого треугольника равна $3\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{1}{2}=2$, и полная искомая площадь - 5.

Ответ: 5.

Решение 4, предложенное Шагиным Вадимом Львовичем:

Вадим Львович предлагает найти высоту треугольника $DCB$ через тангенс угла $\angle CDB$. А его удобно определить в треугольнике $ADE$.

$$\operatorname{tg}DAE=\operatorname{tg}CDB=\frac{2}{3}$$

Таким образом, высота треугольника $DCB$ равна

$$h=2\operatorname{tg}CDB=2\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$$

Тогда площадь  треугольника $DCB$ равна $3\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{1}{2}=2$, и полная искомая площадь - 5 (с учетом площади $ADB$, найденной ранее).

Ответ: 5.

Решение 5, предложенное Олегом Владимировичем Сухановым:

Площадь треугольника $ADE$ равна

$$S_{ADE}=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot AE\cdot \sin DAE$$

Но эту площадь можно найти и так:

$$S_{ADE}=\frac{1}{2}\cdot DE\cdot H=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 3=\frac{3}{2}$$

Треугольник $ABC$ имеет общий угол с треугольником $ADE$, поэтому их площади относятся так же, как относятся произведения длин их сторон:

$$\frac{S_{ABC}}{S_{ADE}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot AC\cdot AB\cdot \sin DAE}{\frac{1}{2}\cdot AD\cdot AE\cdot \sin DAE}=\frac{AC\cdot AB}{AD\cdot AE}$$

Но $AE=\frac{1}{2}AB$ и $AD=\frac{3}{5}AC$, поэтому

$$\frac{S_{ABC}}{S_{ADE}}=\frac{AC\cdot AB}{AD\cdot AE}=\frac{5}{3}\cdot 2=\frac{10}{3}$$

Следовательно,

$$S_{ABC}=S_{ADE}\cdot\frac{10}{3}=\frac{3}{2}\cdot\frac{10}{3}=5$$

Ответ: 5.

Решение 6, предложенное Олегом Владимировичем Сухановым, с помощью  векторов:

Введем систему координат с началом в точке А, как показано на рисунке. Тогда вектор $\vec{AD}$ имеет координаты (3;2), а вектор $\vec{AB}$ имеет координаты (6;2).

Скалярное произведение указанных векторов равно

$$\vec{AD}\cdot\vec{AB}=3\cdot6+2\cdot2=22$$

С другой стороны, длина вектора $\vec{AD}$ по теореме Пифагора равна

$$AD=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$$

длина вектора $\vec{AB}$ по теореме Пифагора равна

$$AB=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}$$

Скалярное произведение данных векторов равно

$$\vec{AD}\cdot\vec{AB}=AD\cdot AB\cdot\cos{DAB}=22$$

$$\sqrt{13}\cdot \sqrt{40}\cdot\cos{DAB}=22$$

$$\cos{DAB}=\frac{22}{2\sqrt{13}\cdot \sqrt{10}}=\frac{11}{\sqrt{130}}$$

Теперь определим синус угла $DAB$ через основное тригонометрическое тождество:

$$\sin{DAB}=\sqrt{1-\cos^2{DAB}}=\sqrt{1-\frac{121}{130}}=\sqrt{\frac{9}{130}}=\frac{3}{\sqrt{130}}$$

Заметим, что

$$AC=\frac{5}{3}AD=\frac{5}{3}\sqrt{13}$$

Здесь длина $AD$ определена по теореме Пифагора.

Наконец, можно определить площадь треугольника $ABC$:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot AB\cdot \sin DAB=\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{3}\sqrt{13}\cdot2\sqrt{10}\cdot\frac{3}{\sqrt{130}}=5$$

Ответ: 5.

Решение 7, предложенное Бениамином Агоповичем Казаровым:

$$\frac{S_{CAD}}{S_{ABC}}=\frac{CD}{BC}=\frac{CE}{CF}=\frac{3}{5}$$

$S_{CAD}=3$, поэтому $S_{ABC}=5$.

Ответ: 5.

Наконец, решение 8 - по теореме косинусов для треугольника $ADC$. Найти косинус угла $ACD$ на картинке выше, затем его синус через основное тригонометрическое тождество, далее решение совпадает с решением 6.