Задачи экзамена Профи для учителей, так или иначе связанные с производной

Задача 1.

Найдите расстояние между линиями $y=\sqrt{3x-1}$ и $y=0,75x+10$.

Решение. Расстояние между линиями – это расстояние между прямой, задаваемой уравнением $y=0,75x+10$, и касательной, проведенной к $y=\sqrt{3x-1}$, да так проведенной, чтобы она была параллельна прямой $y=0,75x+10$. Расстояние – длина общего перпендикуляра к упомянутой касательной и данной прямой.

Определим производную для первой функции:

$$y^{’}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{3x-1}}\cdot 3=\frac{3}{2\sqrt{3x-1}}$$

Коэффициент наклона прямой равен $k=0,75$, приравняем найденную производную:

$$\frac{3}{2\sqrt{3x-1}}=\frac{3}{4}$$

Откуда

$$\sqrt{3x-1}=2$$

$$3x-1=4$$

$$x=1$$

При таком $x$ ордината будет равна

$$y=\sqrt{3x+1}=\sqrt{4}=2$$

То есть наш перпендикуляр пройдет через точку $(1; 2)$. Определим уравнение прямой, на которой этот перпендикуляр лежит.

$$g=k_1x+b$$

Где $k_1=-\frac{4}{3}$ - так как у перпендикулярных прямых $k\cdot k_1=-1$.

$$g=-\frac{4}{3}x+b$$

Подставим координаты принадлежащей точки:

$$2=-\frac{4}{3}\cdot 1+b$$

$$b=\frac{10}{3}$$

Теперь, зная уравнение прямой, которой принадлежит перпендикуляр, определим его точку пересечения с прямой $y=0,75x+10$:

$$ g=-\frac{4}{3}x+\frac{10}{3}$$

$$y=g$$

$$-\frac{4}{3}x_1+\frac{10}{3}=0,75x_1+10$$

$$\frac{4}{3}x_1+\frac{3}{4}x_1=\frac{10}{3}-10$$

$$\frac{25}{12}x_1=-\frac{20}{3}$$

$$x_1=-3,2$$

Определим ординату этой точки:

$$y_1=0,75\cdot (-3,2)+10=7,6$$

Осталось найти длину перпендикуляра, то есть расстояние между точками его пересечения с обеими линиями, точками $(1;2)$ и $(-3,2; 7,6)$.

$$\delta=\sqrt{(1-(-3,2))^2+(2-7,6)^2}=7$$

Ответ: расстояние равно 7.

Задача 2.

Чему равно наибольшее значение функции $y=\sqrt{\cos^2 x+4\sin x-3,75}$?

Решение. Преобразуем:

$$ y=\sqrt{1-\sin^2 x+4\sin x-3,75}=\sqrt{-\sin^2 x+4\sin x-2,75}$$

Можно исследовать без производной. Видно, что это парабола, ветвями вниз, значит, максимум у нее в вершине. Но если его найти, можно убедиться, что при этом получится синус, равный 2:

$$ y=\sqrt{-(\sin x-2)^2+1,25}$$

Синус же у нас ограниченная функция, $\sin x \leqslant 1$. Значит, если принять $\sin x=1$, мы будем находиться на левой ветви указанной параболы. При этом функция возрастает, потому что вершина правее. И при $\sin x=1$ как раз и получится максимальное значение указанной функции:

$$ y=\sqrt{-(\sin x-2)^2+1,25}=\sqrt{-(1-2)^2+1,25}=\sqrt{0,25}=0,5$$

Ответ: 0,5

Задача 3.

Сколько раз нужно продифференцировать функцию $f(x)=(x^3+1)^{1346}$, чтобы получить многочлен 4000-й степени?

Решение. Пока имеем многочлен $3 \cdot 1346=4038$. Попробуем продифференцировать хотя бы раз:

$$f^{’}(x)=1346 \cdot (x^3+1)^{1345} \cdot 3x^2$$

Получили многочлен степени $3 \cdot 1345+2=4037$. То есть степень понизилась на 1. Значит, продифференцировать придется $4038-4000=38$ раз.

Ответ: 38.