Максимальное и минимальное значения функций на интервале.

Доброго времени суток всем моим уважаемым читателям!

В этой статье мы попробуем научиться определять максимальное и минимальное значения различных функций, простых и посложнее, находить точки экстремумов, определять, является ли экстремум минимумом или максимумом функции, и даже отличать перегиб функции от экстремума.

 

 

Действовать мы будем так:

1. Определим производную функции.

2. Приравняем производную к нулю, чтобы определить, имеет ли функция экстремумы (если полученное уравнение имеет корни). Определим, принадлежат ли данные экстремумы заданному промежутку.

3. Если функция имеет экстремум на заданном промежутке, определим, максимум ли это или минимум.

4. Если функция не имеет экстремума (нет корней у уравнения, полученного путем приравнивания производной к нулю), определяем знак производной. Это покажет нам, является ли функция возрастающей  или убывающей. Далее действуем по условию задачи: если функция возрастает, то максимальное значение справа, а минимальное - слева. Если убывает - то наоборот. Решение задач поможет нам все разложить по полочкам, и с помощью картинок мы постараемся не оставить непонятных мест в решении подобных задач.

Задача 1. Необходимо определить наибольшее значение функции:

Действуем по алгоритму: сначала определяем производную. Здесь мы имеем сумму функций, поэтому определяем производную от каждой в отдельности и складываем, после чего приравняем производную к нулю:

Решаем полученное уравнение. Если корни будут - значит, возможно, экстремумы есть (точка, где производная равна нулю, может быть и не экстремумом, а точкой перегиба).

Видим - корень есть:

В этой точке наша функция имеет экстремум. Важно, что эта точка принадлежит заданному интервалу. Выясним, максимум это или минимум.Для этого нужно определить знак производной в окрестности этой точки, то есть справа и слева от нее. Например, здесь можно взять точку - она будет располагаться слева, и точку  - она будет справа. Тогда: 

Понятно, что функция имеет наибольшее значение в точке максимума.Найдем это значение так: подставим найденную точку экстремума в уравнение функции:

Ответ: наибольшее значение функции на данном интервале равно 10.

2.Найти наименьшее значение функции на заданном интервале:

Точно так же, как и в первый раз, берем производную и приравниваем к нулю:

Уже видно, что это уравнение будет иметь корни:

В точке  функция имеет экстремум. Максимум это или минимум? Найдем значение производной справа и слева от точки . Снова возьмем точку - она будет располагаться слева, и точку  - она будет справа. Тогда:

 Наименьшее значение функция принимает в точке минимума, найдем его:

Ответ: наименьшее значение функции на данном интервале равно 1.

Решим следующую задачу:

3. Определить наибольшее значение функции на отрезке:

Сначала, как всегда, производная:

Это как раз случай, когда экстремумов у функции на данном интервале нет: у уравнения выше нет корней. Это означает, что функция монотонная: либо убывает, либо возрастает. Мы можем определить это по знаку производной: если производная положительна - функция возрастает, если отрицательна - убывает. Зачем нам знать, убывает или возрастает функция? Дело в том, что если функция возрастает, то ее значение будет всегда больше на правом конце интервала, а если убывает - на левом.

У нас, какой бы угол мы ни взяли, косинус его не превышает 1, поэтому производная  положительна, а значит, функция растет. Таким образом, своего наибольшего значения она достигнет в точке 0:

Ответ: наибольшее значение функции на данном интервале - 3.

 

 

4. Определить наименьшее значение функции на отрезке:

Определим производную и приравняем к нулю:

Уже видно, что функция монотонная (нет корней у получившегося уравнения):

Так как производная отрицательна, то делаем вывод, что функция убывает. Тогда ее наименьшее значение - на правом конце отрезка, то есть в 0:

Ответ: наименьшее значение функции на данном отрезке - 19.

5. Найдите наименьшее значение функции на отрезке:

Берем производную, приравниваем к нулю и решаем полученное уравнение:

Казалось бы - уравнение имеет корни, значит, функция будет иметь экстремум на данном отрезке (второй корень данному отрезку не принадлежит, поэтому не рассмотрен). Определим, максимум это или минимум. Значение 1 для косинуса - максимальное, то есть, какую точку ни возьми около нуля - значение косинуса - абсциссы - будет меньше, чем в точке ноль. Однако! Производная в точке ноль знака не меняет! Она положительна в окрестности нуля, и значит, функция возрастает как до нуля, так и после. Значит, функция в точке ноль имеет не экстремум, а перегиб.

Поэтому, чтобы определить наименьшее значение, надо брать левый конец отрезка и считать значение функции в этой точке. По счастливой случайности, это точка ноль. Однако, это могла бы быть и другая точка, отличная от нуля, и тогда можно было бы ошибиться, посчитав точку ноль экстремумом и определив значение функции в ней. Итак, значение функции:

Ответ: наименьшее значение функции на данном отрезке - 8.

6. Найдите точку максимума функции:

Алгоритм выполнения таких заданий тот же самый. Первым делом - производная. Здесь имеем произведение двух функций, поэтому брать производную будем по правилу взятия производной от произведения функций:

Далее приравняем полученное выражение к нулю. Понятно, что экспонента всегда неотрицательна, в какую степень ни возведи, поэтому корень "спрятан" во втором сомножителе:

Убедимся, что данный экстремум - максимум. Действительно, в этой точке производная знак меняет, и меняет с положительного на отрицательный, то есть до этой точки функция возрастает, а после - убывает.

Таким образом, найденная нами точка - максимум. Ответ: точка  х=-7.

7. Найдите наименьшее значение функции на отрезке:

Нам предстоит, как обычно, найти производную данной функции, а это функция сложная: под знаком логарифма выражение в степени (причем степень - четная! Если выносить ее за знак логарифма, то нужно ставить знак модуля, чтобы не сузить область определения функции). Поэтому, чтобы не раскрывать модуль, можем воспользоваться правилом взятия производной от сложной функции:

Полученное выражение приравняем  к нулю:

Отметим, что в точке (-3) производная не определена. Тем не менее в этой точке производная поменяет знак. Точка (-2) - минимум функции, так как в ней производная меняет знак с отрицательного на положительный. Значит, в этой точке у функции минимальное значение. Найдем его:

Ответ: наименьшее значение функции на данном отрезке - 8.

8. Найдите точку максимума функции:

Определяем производную сложной функции. Найденную производную приравняем к нулю:

Имеем две точки экстремумов. Одна из них - максимум, другая - минимум.

Максимум функция имеет в точке 8.

 Ответ: точка  х=8.

9. Найдите точку минимума функции:

Определяем производную произведения, кроме того, экспонента является сложной функцией (здесь производная степени, в которую возведена экспонента, равна 1). Найденную производную приравняем к нулю:

Точкой минимума функции является точка 11. В этом можно убедиться: производная в ней меняет знак с минуса на плюс.

Ответ: точка  х=11.

10. Найдите точки минимума и максимума функции:

Определяем производную сложной функции. Найденную производную приравняем к нулю:

Производная этой функции меняет знак с отрицательного на положительный в точке 2 (минимум), и с положительного на отрицательный - в точке 17 (максимум).

11. Найти наименьшее значение функции на отрезке:

Обратим внимание на то, что выражение, стоящее под знаком логарифма, больше нуля. Тогда , . Отрезок, на котором мы исследуем функцию и определяем знаки производной, удовлетворяет области определения функции.

Найдем производную и приравняем к нулю:

В точке 2 производная знак меняет, значит, это экстремум. Знак она меняет с отрицательного на положительный, поэтому данная точка - точка минимума. В ней функция принимает наименьшее значение:

Ответ: наименьшее значение функции на данном отрезке - 8.

12. Найти наименьшее значение функции на отрезке:

Найдем производную и приравняем к нулю:

Можем отметить, что область определения функции - положительные значения х (так как  выражение под знаком логарифма больше ноля), и что производная в точке 0 не определена.Получим квадратное уравнение, у которого сумма коэффициентов равна 0 (a+b+c=0). В таком уравнении один корень равен 1, а второй  c/a:

Заданному отрезку принадлежит лишь одна точка - 1. Производная здесь меняет знак с отрицательного на положительный, и значит, это минимум. Определим значение функции в этой точке:

13. Найдите наименьшее значение функции на отрезке:

Заметим, что функция не определена в точке 0.

Берем производную дроби:

Приравниваем производную к нулю и отыскиваем корни:

Один из корней нас не интересует, так как промежутку не принадлежит, а во второй точке производная меняет знак с отрицательного на положительный.То есть функция имеет минимум в данной точке. Определим ее минимальное значение:

Надеюсь, эта статья и, главное, приведенные примеры помогут вам справиться с заданием B15. Необходимо только помнить правила взятия производной, и особенно от сложных функций.