Производная сложной функции

Производная сложной функции – да ведь это же просто! Нужно найти «вложенные» функции и взять производные по очереди от  каждой, и затем перемножить.

Задача 1.

Определить производную функции: $$y=7^{\arcsin^2 x}$$ Решение: $$y’=7^{\arcsin^2 x}\cdot \ln 7 \cdot(\arcsin^2 x)’=7^{\arcsin^2 x}\cdot \ln 7\cdot2\arcsin^1 x \cdot (\arcsin x)’=7^{\arcsin^2 x}\cdot \ln 7\cdot2\arcsin x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=$$ $$=\frac{2\cdot 7^{\arcsin^2 x}\cdot \ln 7 \arcsin x }{\sqrt{1-x^2}}$$  

Задача 2.

Определить производную функции: $$y=\sqrt[4]{x^3+\operatorname{tg}{x}+15}$$ Решение: $$y’= \left((x^3+\operatorname{tg}{x}+15)^{\frac{1}{4}}\right)’=\frac{1}{4}\cdot\left((x^3+\operatorname{tg}{x}+15)^{-\frac{3}{4}}\right)\cdot(x^3+\operatorname{tg}{x}+15)’=$$ $$=\frac{1}{4\sqrt[4]{ (x^3+\operatorname{tg}{x}+15)^3}}\cdot(x^3’+\operatorname{tg}{x}’)= \frac{1}{4\sqrt[4]{ (x^3+\operatorname{tg}{x}+15)^3}}\cdot(3x^2+\frac{1}{\cos^2 x})$$  

Задача 3.

Определить производную функции: $$y=\frac{e^{\sin x}}{(x-5)^7}$$ Решение: $$y’=\frac{ (e^{\sin x})’\cdot(x-5)^7- e^{\sin x}\cdot7(x-5)^6}{((x-5)^7)^2}=\frac{ e^{\sin x}\cdot(\sin x)’\cdot {(x-5)^7} - e^{\sin x}\cdot7(x-5)^6}{(x-5)^6\cdot (x-5)^8}=$$ $$=\frac{ e^{\sin x}\cdot\cos x\cdot(x-5)-7e^{\sin x}}{(x-5)^8}=\frac{ e^{\sin x}(\cos x\cdot(x-5)-7)}{(x-5)^8}$$  

Задача 4.

Определить производную функции: $$y=\cos^2(\sqrt{x^2+1})$$ Решение: $$y’=2\cos(\sqrt{x^2+1})\cdot\left(\cos(\sqrt{x^2+1})\right)'\cdot (\sqrt{x^2+1})’\cdot (x^2)'=$$ $$=-2\cos(\sqrt{x^2+1})\cdot \sin(\sqrt{x^2+1})\cdot \frac{1}{2}\left((x^2+1)^{-\frac{1}{2}}\right)\cdot 2x=$$ $$=-\sin(2\sqrt{x^2+1})\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}\right)$$