Задача о делении бригады рабочих на два объекта

Задача на оптимальный выбор, относящаяся к задачам 17 из профильного  ЕГЭ.

Задача. В распоряжении прораба имеется бригада рабочих в составе 28 человек. Их нужно распределить на строительство двух частных домов, находящихся в разных местах. Если на строительстве первого дома работает $t$ человек, то их суточная зарплата составляет $5t^2$ денежных единиц. Если на строительстве второго дома работает $t$ человек, то их суточная зарплата составляет $3t^2$ денежных единиц. Дополнительные суточные накладные расходы  (транспорт, питание и т.п.) составляют 4 ден. ед. в расчете на одного рабочего на первом объекте и 3 ден. ед. в расчете на одного рабочего на втором объекте. Как нужно распределить рабочих бригады, чтобы все выплаты на их суточное содержание (т.е. зарплата и суточные накладные расходы) оказались наименьшими?

Решение.

Если на первом объекте работают $x$ рабочих, то их зарплата составит $5x^2$, а накладные расходы - $4x$ денежных единиц.

Если на втором объекте работают $y$ рабочих, то их зарплата составит $3y^2$, а накладные расходы - $3y$ денежных единиц.

Так как $x+y=28$, то $y=28-x$, тогда общая сумма затрат по обоим объектам равна

$$A=5x^2+4x+3y^2+3y=5x^2+4x+3(28-x)^2+3(28-x)$$

$$A=5x^2+4x+3(28^2-56x+x^2+3\cdot 28-3x=8x^2-167x+3\cdot28^2+3\cdot28$$

Чтобы найти минимум этой функции, возьмем производную и приравняем ее к нулю:

$$A’=16x-167=0$$

$$x=\frac{167}{16}=10,4$$

Проверяя величину А в точках $x=10$ и $x=11$, получаем, что

$A(10)<A(11)$. Таким образом, рабочих надо разделить на 10 и 18 человек: на первый объект 10, на второй – 18.

Ответ: 10 и 18.