Три фирмы

В этой статье задача с параметром про три фирмы.

Задача. Владимир планирует осуществить закупку 10 единиц товара, продажей которого занимаются три различных фирмы. Схема работы каждой фирмы указана в таблице (цены указаны в у.е.).

Владимир хочет минимизировать свои расходы на покупку товара и заключить контракт с одной из представленных фирм. Найдите все значения переменной $p$, при которых Владимир заключит контракт с фирмой 3.

Решение.

Принимаем как условие, что контракт заключен с фирмой 3. При этом Владимир, возможно, купил товар на сумму менее 3750 у.е, а возможно, что и  более.

Ситуация первая. Сумма, которой Владимир располагает, менее  3750 у.е. Тогда работать со второй фирмой нет никакого смысла: у них одна доставка 6000 у.е. Следовательно, в этой ситуации данная фирма выбывает из рассмотрения. Тогда заключить контракт с третьей фирмой (раз ее выбрал Владимир) выгоднее, чем с первой. Тогда

$$2200p+5800p \leqslant 4000+330p$$

$$7670p\leqslant 4000$$

$$ p\leqslant \frac{400}{767}$$

При этом, очевидно, $p>0$.

Ситуация вторая. У Владимира есть большая сумма, чем 3750 у.е., однако эта сумма меньше 6000 у.е. – то есть он может работать как с первой, так и с третьей фирмами, и опять третья оказывается выгоднее (тем более, что в данной ситуации платить за доставку не надо).

$$2200p\geqslant 3750$$

$$p\geqslant \frac{75}{44}$$

$$2200p \leqslant 4000+330p$$

$$1870p\leqslant 4000$$

$$ p\leqslant \frac{400}{187}$$

Ситуация третья. Владимир планирует купить товар на общую сумму более 6000. Первая фирма теперь по юридическим ограничениям не сможет с ним работать:

$$4000+330p>6000$$

$$p> \frac{200}{33}$$

Теперь Владимиру выгоднее купить товар в третьей фирме по сравнению уже со второй:

$$2200p \leqslant 1250p+6000$$

$$950p\leqslant 6000$$

$$ p\leqslant \frac{120}{19}$$

Ответ: $p \in (0; \frac{400}{767}] \cup (\frac{75}{44}; \frac{400}{187}] \cup (\frac{200}{33}; \frac{120}{19}]$.