Оптимальный выбор -1

Рассмотрим несколько задач на оптимальный выбор, одна из которых - новая, появившаяся только в этом году.

Задача 1.

Производство некоторого товара облагалось налогом в размере $t_0$ рублей за единицу товара. После того как государство, стремясь увеличить сумму налоговых поступлений, увеличило налог в два с половиной раза (до $2,5t_0$) сумма налоговых поступлений не изменилась.

На сколько процентов государству следует изменить налог после этого, чтобы добиться максимальных налоговых сборов, если известно, что при налоге, равном $t$ рублей за единицу товара объём производства товара составляет $10000-2t$ единиц, если это число положительно, и 0 единиц иначе?

Решение.

Если объем производства равен $V=10000-2t$, то сумма налога, который будет уплачен государству, равна $t\cdot V$. Чем больше объем – тем больше налог. Или эта сумма равна

$$S=10000t-2t^2$$

Определим, когда эта сумма максимальна. Эта функция – парабола с ветвями вниз. Максимум ее расположен в вершине. Также нам известно, что эта функция принимает одинаковые значения в точках $t_0$ и $2,5t_0$. Значит, эти точки расположены симметрично от вершины. Определим ее координату:

$$\frac{2,5t_0+t_0}{2}=1,75t_0$$

То есть государству нужно снизить налоговую ставку. Посмотрим, на сколько:

$1,75t_0$ составляет 70% от $2,5t_0$, значит, надо снизить налоговую ставку на 30%.

Ответ: 30%.

Задача 2.

Бригаду из 50 рабочих нужно разделить на 2 объекта. Если на первом объекте работает $p$ человек, то каждый из них получает в сутки $100p$ рублей. Если на втором объекте работает $p$ человек, то каждый из них получает в сутки $50p+100$ руб. Как нужно распределить рабочих по объектам, чтобы их суммарная суточная зарплата оказалась наименьшей? Сколько рублей в этом случае придется заплатить за сутки всем рабочим?

Решение. Пусть на первый объект идут $x$ рабочих, а на второй - $y$. Тогда полная сумма, которую следует заплатить рабочим, равна $S=100x^2+(50y+100)y$ рублей. Давайте минимизируем ее. Для этого выразим $x$ через $y$, ведь нам известно, что

$$x+y=50$$

Тогда

$$x=50-y$$

И

$$S=100(50-y)^2+(50y+100)y=100(2500-100y+y^2)+50y^2+100y=150y^2-9900y+250000$$

Берем производную:

$$S’=300y-9900$$

И приравниваем ее к нулю:

$$300y-9900=0$$

$$y=33$$

Тогда $x=17$.

Ответ: 17 рабочих на первый объект, 33 на второй.

Задача 3.

Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство $x$ тыс. ед. продукции на таком заводе равны $0,5x^2+2x+6$ млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене $р$ тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит $px-(0,5x^2+2x+6)$. Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении $р$ строительство завода окупится не более, чем за 3 года?

Решение. В среднем годовая прибыль должна быть большей или равной $\frac{78}{3}$ млн, тогда через три года завод окупится. Запишем это:

$$ px-(0,5x^2+2x+6)\geqslant 26$$

$$ px-0,5x^2-2x-6\geqslant 26$$

$$ px-0,5x^2-2x-32\geqslant 0$$

$$ 0,5x^2+2x -px +32\leqslant 0$$

$$ 0,5x^2 +x(2-p) +32\leqslant 0$$

Эта функция – парабола, ветви ее направлены вверх, и минимум достигается в точке

$$\frac{-b}{2a}=\frac{p-2}{1}=p-2$$

Подставим найденное значение в неравенство:

$$ 0,5(p-2)^2 +(p-2)(2-p) +32\leqslant 0$$

$$ 0,5(p-2)^2 -(p-2)^2 +32\leqslant 0$$

$$ -0,5(p-2)^2 \leqslant -32$$

$$ 0,5(p-2)^2 \geqslant 32$$

$$(p-2)^2 \geqslant 64$$

Или $p\geqslant 10$, $p\leqslant -6$. Отрицательные значения цены нас не интересуют, а из положительных наименьшее – 10.

Ответ: $p=10$.