Новые экономические задачи

В этой статье я собрала некоторые интересные экономические задачи. Как всегда, нашла их в сети: в группах ВК, беседах, в общении с учениками и коллегами.

Задача 1.

Иван Иванович хочет открыть банковский вклад на 2 года. «Сбербанк» предлагает ставку 10% годовых, а банк «Эталон» предлагает ставку в 20% годовых, однако банк «Эталон»  вместе с начислением процентов в конце каждого года списывает комиссию за обслуживание счета в размере 1380 рублей. (Проценты начисляются единоразово в конце каждого года, комиссия списывается сразу после начисления процентов). Иван Иванович рассчитал, что ему без разницы, в каком из банков открыть двухлетний вклад, однако он поступил умнее и открыл годичный вклад в одном из банков и потом перевел все накопления в другой. Какую максимальную сумму он мог заработать в качестве процентов?

Решение.

По расчетам Ивана Ивановича ему «без разницы, в каком из банков открыть двухлетний вклад»  - запишем это уравнением. Пусть у Ивана Ивановича $A$ рублей. Тогда, если Иван Иванович держит эту сумму в «Сбербанке» 2 года, то по истечении этих двух лет он получит на руки $A\cdot 1,1^2$ рублей. Если же Иван Иванович держит деньги год в банке «Эталон», то он получает в конце года сумму $A\cdot 1,2-1380$, а еще через год $(A\cdot 1,2-1380)\cdot 1,2-1380$. Эти суммы оказываются равны по расчетам Ивана Ивановича:

$$A\cdot 1,1^2=(A\cdot 1,2-1380)\cdot 1,2-1380$$

Это уравнение позволяет найти $A$:

$$A=13200$$

Теперь посмотрим, в каком порядке Ивану Ивановичу выгоднее хранить свои деньги по придуманной им схеме (по одному году). Если он хранит эти деньги год «Сбербанке», а затем перемещает их в банк «Эталон», то у него на руках окажется

$$A\cdot 1,1\cdot 1,2-1380$$

А если он сначала положит деньги в банк «Эталон», а затем уже в «Сбербанк», то

$$(A\cdot 1,2-1380)\cdot1,1$$

Очевидно, что в обоих случаях при раскрытии скобок первое слагаемое одно и то же, а вот вычитаемое во втором случае больше, то есть Иван Иванович по второй схеме теряет больше, и выгоднее оказывается первая схема (сначала «Сбербанк», потом – «Эталон»). Тогда на руках у Ивана Ивановича через два года будет

$$13200\cdot 1,1\cdot 1,2-1380=16044$$

Таким образом, Иван Иванович преумножил свои сбережения на

$$16044-13200=2844$$

Ответ: 2844 рубля.

Задача 2.

Девальвация – процесс обесценивания денежной единицы одного государства к денежной единице другого. За последние 12 месяцев рубль был девальвирован к доллару США на 52 процента, а Евро девальвирован к доллару на 20 процентов. Мария Ивановна год назад обменяла свои сбережения в размере 300000 рублей на Евро, а сейчас хочет вернуться в рубли. Какую сумму она получит в обменном пункте?

Если рубль был девальвирован к доллару США на 52 процента, то это означает, что раньше на рубль можно было приобрести $k$ долларов, а теперь можно приобрести только $0,48k$. Если Евро девальвирован к доллару на 20 процентов, то это значит, что раньше на Евро можно было купить $m$ долларов, а теперь только $0,8m$.

Пусть Мария Ивановна приобрела $A$ евро, они стоили 300000 рублей.

Тогда при обмене своих евро на доллары она (с учетом девальвации) получит

$$A\cdot 0,8=0,8A$$

А на эту сумму в долларах она приобретет рублей

$$\frac{0,8A}{0,48}=1\frac{2}{3}A$$

То есть количество рублей, которые можно приобрести, выросло в $\frac{5}{3}$ раза и Мария Ивановна получит 500 000 рублей.

Ответ: 500 000.

Задача 3.

Маркетологи кондитерской фабрики составили прогноз спроса на пасхальные куличи в 2018 году в зависимости от изменения отпускной цены одного кулича в сравнении с 2017 годом. Согласно данным прогноза, при увеличении отпускной цены кулича на $t$ рублей количество проданных куличей уменьшится на $t\%$ от показателей 2017 года. На сколько рублей следует поднять отпускную цену куличей в 2018 году, чтобы максимизировать выручку от их реализации, если в 2017 году один кулич продавался за 60 рублей? На сколько процентов при таком исходе вырастет выручка в 2018 году (в сравнении с 2017 годом)?

Выручка от продажи куличей будет составлять при указанных условиях

$$W= (60+t)\cdot \left(N-\frac{N\cdot t}{100}\right)$$

Где $N$ - число проданных в 2017 году куличей.

Если нужно максимизировать прибыль, значит, нужно найти максимум данной функции $W(t)$. Это квадратичная функция, ее максимум – в вершине параболы (парабола обращена вниз ветвями). Поэтому

$$t_{max}=\frac{-0,4}{-0,02}=20$$

Прибыль составит

$$W= (60+t)\cdot \left(N-\frac{N\cdot t}{100}\right)=80\cdot N\cdot(1-0,2)=64N$$

Определим, на сколько процентов вырастет прибыль:

$$\frac{W}{T}=\frac{64N}{60N}=1,067$$

То есть прибыль вырастет на 6,7% приблизительно.

Ответ: 20 рублей, 6,7%.