Кредиты: задачи из Ященко-25, 36 вариантов.

Задача 1.

(Ященко, 36 вариантов, 2025 г, вариант 3).  В мае 2027 года планируется взять кредит в банке на сумму 1400 тыс. рублей на 8 лет. Условия его возврата таковы:

- в январе 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на 17 % по сравнению с концом предыдущего года;

- в январе 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 14 % по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по апрель каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в мае каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на май предыдущего года;

- к маю 2035 года кредит должен быть полностью погашен.

На сколько рублей последняя выплата будет меньше выплаты 2030 года?

Решение: Схема дифференцированного платежа с изменением процента. Составим таблицу уменьшения долга и выплат:

Годы	Долг	Процент	Платеж
28	8a	8a*0,17	8a*0,17+a
29	7a	7a*0,17	7a*0,17+a
30	6a	6a*0,17	6a*0,17+a
31	5a	5a*0,17	5a*0,17+a
32	4a	4a*0,14	4a*0,14+a
33	3a	3a*0,14	3a*0,14+a
34	2a	2a*0,14	2a*0,14+a
35	a	a*0,14	a*0,14+a

Выплата 30-го года $6a\cdot 0,17+a$, последняя выплата $a\cdot 0,14+a$.

Они отличаются на:

$$\Delta =6a\cdot 0,17+a-( a\cdot 0,14+a)=(6\cdot 0,17-0,14)a=(1,02-0,14)a=0,88a$$

Согласно той же таблице, $S=8a$, поэтому

$$a=\frac{S}{8}$$

$$\Delta=0,88\cdot \frac{1400}{8}=0,11\cdot1400=11\cdot 14=154$$

Ответ: выплаты отличаются на 154 тысячи рублей.

 

 

Задача 2.

(Ященко, 36 вариантов, 2025 г, вариант 5).  Предприятие планирует 1 июня 2027 года взять в банке кредит на 2 года в размере 8400 тыс. рублей. Банк предложил предприятию два различных варианта погашения кредита, описание которых приведено в таблице.

Вариант 1	- Каждый январь долг возрастает на 10 % по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по май каждого года необходимо выплатить часть долга; - кредит должен быть полностью погашен за два года двумя равными платежами.
Вариант 2	- 1-го числа каждого квартала, начиная с 1 июля 2027 года, долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего квартала; - во втором месяце каждого квартала необходимо выплатить часть долга; - на конец каждого квартала долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на конец предыдущего квартала; - к 1 июня 2029 года кредит должен быть полностью погашен.

На сколько рублей меньше окажется общая сумма выплат банку по более выгодному для предприятия варианту погашения кредита?

Решение: первая схема – обычная аннуитетная. Сначала банк увеличивает сумму, потом клиент платит:

$$(S\cdot 1,1-x)\cdot 1,1-x=0$$

$$S\cdot 1,21=2,1 x$$

$$x=\frac{ S\cdot 1,21}{2,1}$$

Всего выплачено по этой схеме было бы $2x$:

$$ 2x=\frac{ 2S\cdot 1,21}{2,1}=\frac{ 16800\cdot 1,21}{2,1}=9680$$

Вторая схема – дифференцированный платеж. Платим 2 года – это 8 кварталов. Составим таблицу:

Кварталы	Долг	Процент	Платеж
1	8b	8b*0,03	8b*0,03+b
2	7b	7b*0,03	7b*0,03+b
...	...	...	...
8	b	b*0,03	b*0,03+b

Не стала все строки приводить, понятно, что они отличаются немногим. 

Всего банку было бы выплачено:

$$G=8b+0,03(8b+7b+6b+5b+4b+3b+2b+b)=8b+1,08b=9,08b$$

Так как

$$S=8b$$

$$b=\frac{S}{8}$$

$$G=9,08\cdot \frac{S}{8}=9,08\cdot \frac{8400}{8}=9534$$

Разница составит

$$\Delta=2x-G=9680-9534=146$$

Ответ: 146 тыс. рублей.

 

Задача 3.

(Ященко, 36 вариантов, 2025 г, вариант 7).  В июле 2029 года планируется взять кредит в банке на 2 млн рублей на 4 года. Условия его возврата таковы:

- в январе каждого года долг возрастает на $r \%$ по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июле 2030, 2031 и 2032 годов долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

- в июле 2033 года выплачивается остаток по кредиту в размере 406 тыс. рублей.

Найдите $r$, если общая сумма выплат по кредиту составит 2752 тыс. рублей.

Решение. Последняя выплата – это остаток вместе с процентами на него.

Составим таблицу:

Годы	Долг	Процент	Платеж
30	S	S*0,01r	S*0,01r+a
31	S-a	(S-a)*0,01r	(S-a)*0,01r+a
32	S-2a	(S-2a)*0,01r	(S-2a)*0,01r+a
33	S-3a	(S-3a)*0,01r	(S-3a)*0,01r+S-3a

 

Общая сумма выплат составляет 2752 тыс. руб. и равна:

$$2752=S+\frac{r}{100}\cdot \left(S+S-a+S-2a+S-3a\right)$$

$$2752=2000+\frac{r}{100}\cdot (4S-6a)$$

$$752=\frac{r}{100}\cdot (4S-6a)$$

$$75200=r\cdot (2S+2S-6a) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$

Согласно таблице, последняя выплата

$$S-3a+(S-3a)\cdot \frac{r}{100}=(S-3a)\left(1+\frac{r}{100}\right)=(S-3a)\frac{r+100}{100}=406$$

Таким образом,

$$S-3a=406\frac{100}{r+100}$$

И, умножив это на 2, подставим в (1):

$$75200=r\cdot \left(2S+\frac{81200}{r+100}\right)$$

$$75200=r\cdot \left(4000+\frac{81200}{r+100}\right)$$

$$752=r\cdot \left(40+\frac{812}{r+100}\right)$$

Приводим к общему знаменателю:

$$752(r+100)-812r-40r(r+100)=0$$

$$752r+75200-812r-40r^2-4000r=0$$

$$40r^2+4060r-75200=0$$

Разделим на 20:

$$2r^2+203r-3760=0$$

Дискриминант

$$D=203^2+8\cdot 3760=71289$$

Считаем его в столбик, корень тоже извлекаем в столбик, кто не умеет – ищите видео на моем канале. Корни:

$$r=\frac{-203+\sqrt{D}}{4}=\frac{-203+267}{4}=\frac{64}{4}=16$$

Ответ: $r=16 \%$.