Кредиты - задачи из Ященко-2025, 36 вариантов.

Задача 1.

(Ященко, 36 вариантов, 2025 г, вариант 17).  В июне 2028 года Ольга планирует взять кредит в банке N на 4 года в размере 3,6 млн рублей. Условия его возврата таковы:

- в январе 2029 и 2030 годов долг увеличивается на $r \%$ от суммы долга на конец предыдущего года;

- в январе 2031 и 2032 годов долг увеличивается на 18 % от суммы долга на конец предыдущего года;

- в период с февраля по июнь каждого года действия кредита необходимо выплатить часть долга;

- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

- к июлю 2032 года кредит должен быть полностью погашен.

Ольге предложили взять кредит в банке G на таких же условиях, но только в первые два года долг будет увеличиваться на 18%, а в последующие два года — на $r \%$.

Найдите $r$, если общая сумма выплат по кредиту в банке G больше суммы выплат в банке N на 162 тыс. рублей.

Решение. Составим таблицу платежей для обоих банков. Банк $N$:

Годы	Долг	Процент	Платеж
2029	S=4a	0,01r*S	0,01r*S+a
2030	S-a=3a	0,01r(S-a)	0,01r(S-a)+a
2031	2a	0,18*2a	0,18*2a+a
2032	a	0,18*a	0,18*a+a

 

Банк $G$:

Годы	Долг	Процент	Платеж
2029	S=4a	0,18*4a	0,18*4a+a
2030	S-a=3a	0,18*3a	,18*3a+a
2031	2a	0,01r*2a	0,01r*2a+a
2032	a	0,01r*a	0,01r*a+a

Приравниваем сумму платежей в обоих случаях с учетом разницы в 162 тыс.:

$$4a\cdot \frac{r}{100}+3a\cdot \frac{r}{100}+0,18\cdot 2a+0,18\cdot a+162=0,18\cdot 4a+0,18\cdot 3a+2a\cdot \frac{r}{100}+a\cdot \frac{r}{100}$$

Сокращаем подобные слагаемые:

$$4a\cdot \frac{r}{100}+162=0,72a$$

Так как «долг на одну и ту же величину меньше» ежегодно, то $S=4a$, и

$$S\cdot \frac{r}{100}+162=0,72\cdot \frac{S}{4}$$

$$3600\cdot \frac{r}{100}+162=0,72\cdot \frac{3600}{4}$$

$$36r+162=648$$

$$36r=486$$

$$r=13,5$$

Ответ: $13,5 \%$

 

Задача 2.

(Ященко, 36 вариантов, 2025 г, вариант 19).  В сентябре 2027 года Михаил планирует взять кредит в банке на 6 лет в размере 1500 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

- в январе 2028, 2029 и 2030 годов долг увеличивается на $r \%$ от суммы долга на конец предыдущего года;

- в январе 2031, 2032 и 2033 годов долг увеличивается на $(r + 3) \%$ от суммы долга на конец предыдущего года;

- в период с февраля по август необходимо выплатить часть долга;

- в сентябре каждого года действия кредита долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на сентябрь предыдущего года;

- к сентябрю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите $r$, если общая сумма выплат по кредиту должна составить 2175 тыс. рублей.

Решение. Так как «долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на сентябрь предыдущего года», значит, сумму долга $S$ мы выплачиваем равными долями и $S=6a$. Составим таблицу платежей:

Годы	Долг	Процент	Платеж
28	6a	0,01r*6a	0,01r*6a+a
29	5a	0,01r*5a	0,01r*5a+a
30	4a	0,01r*4a	0,01r*4a+a
31	3a	0,01(r+3)*3a	0,01(r+3)*3a+a
32	2a	0,01(r+3)*2a	0,01(r+3)*2a+a
33	a	0,01(r+3)*a	0,01(r+3)*a+a

Собираем все платежи - суммируем весь последний столбец:

$$2175=S+\frac{r}{100}(6a+5a+4a+3a+2a+a)+0,03\cdot 6a$$

$$2175=1500+\frac{r}{100}\cdot 21a+0,03\cdot 6a$$

$$675=0,21 a r+45$$

Подставим $a=\frac{S}{6}$.

$$630=\frac{0,21\cdot1500}{6}r=52,5r$$

$$r=12$$

Ответ: $r=12 \%$.

 

Задача 3.

(Ященко, 36 вариантов, 2025 г, вариант 21).  В июле 2027 года планируется взять кредит на три года в размере 1200 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг будет возрастать на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

- платежи в 2028 и 2029 годах должны быть равными;

- к июлю 2030 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что платёж в 2030 году составит 673,2 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж 2028 года?

Решение. Пусть в 28 и 29 годах мы выплатим из тела кредита по $b$ рублей, а в 28 году – $a$ рублей. Тогда таблица уменьшения долга и платежей будет такой:

Годы	Долг	Процент	Платеж
28	S	0,1S	0,1S+a
29	S-a	0,1(S-a)	0,1(S-a)+b
30	S-a-b	0,1(S-a-b)	0,1(S-a-b)+S-a-b

Платеж 30 года таков, согласно таблице:

$$673,2=1,1(S-b-a)$$

Или

$$1200-b-a=612$$

$$a+b=588$$

Используем условие, что платежи 28 и 29 года одинаковы:

$$0,1S+a=0,1(S-a)+b$$

$$a=-0,1a+b$$

$$1,1a=b$$

Подставим это в уравнение $ a+b=588$:

$$1,1a+a=588$$

$$2,1a=588$$

$$a=280$$

$$b=308$$

Платеж 28 года:

$$0,1S+a=120+280=400$$

Платеж 29 года:

$$0,1(S-a)+b=120-28+308=400$$

Платеж 30 года:

$$1,1(S-b-a)=1,1(1200-280-308)=1,1\cdot 612=673,2$$

Ответ: платеж 28 года составит 400 тыс. руб.