Кредиты - брать или нет? Задачи из Ященко-25

Задача 1.

(Ященко, 36 вариантов, 2025 г, вариант 11).  В июле 2027 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1500 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

 - каждый январь долг будет возрастать на 15 % по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;

- в июле 2028, 2029, 2030, 2031 и 2032 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

- в июле 2033, 2034, 2035, 2036 и 2037 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

- к июлю 2037 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2400 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2029 году?

Решение. Пусть первые пять лет мы платим по $a$ рублей, а вторые пять – по $b$ рублей. Тогда $S=1500$ тыс. руб. - сумма кредита и $S-5a=5b$.

Составим таблицу выплат:

 Все, что мы выплатили банку – содержимое последнего столбца:

$$2400=S+0,15(S+S-a+S-2a+S-3a+S-4a+5b+4b+3b+2b+b)$$

$$2400=S+0,15 \cdot 5S-10 a \cdot 0,15+15b \cdot 0,15$$

$$2400=1,75S-1,5a+2,25b$$

Подставим $b=\frac{S}{5}-a$:

$$2400=1,75S-1,5a+2,25\left(\frac{S}{5}-a \right)$$

$$2400=1,75S+0,45S-3,75a$$

$$2400-2,2S=-3,75a$$

$$3,75a=900$$

$$a=240$$

Посчитаем платеж 29 года (можно посмотреть, какой он, в таблице):

$$G_{29}=0,15(S-a)+a=0,15S+0,85a=0,15 \cdot 1500+0,85 \cdot 240=225+204=429$$

Ответ: платеж в 29 году составит 429 тыс. рублей.

Задача 2.

 (Ященко, 36 вариантов, 2025 г, вариант 13).  В октябре 2027 года Анна планирует взять кредит в банке на 7 лет в размере 4350 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

- в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 10 % от суммы долга на конец предыдущего года;

- в период с февраля по сентябрь необходимо выплатить часть долга;

- в октябре каждого года в первые пять лет действия кредита (2028-2032 гг.) долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на октябрь предыдущего года;

- в 2033 и 2034 годах выплаты по кредиту равны;

- к октябрю 2034 года кредит должен быть полностью погашен.

Известно, что общая сумма выплат по кредиту должна составить 6025 тыс. рублей.

Сколько рублей составит выплата 2031 года?

Решение. Пусть первые пять лет мы платим по $a$ рублей, а последние два  – по $b$ рублей. Тогда $S=4350$ тыс. руб. - сумма кредита и $S-5a=2b$.

Составим таблицу выплат:

Все, что мы выплатили банку – содержимое последнего столбца:

$$6025=S+0,1(S+S-a+S-2a+S-3a+S-4a+2b+b)$$

$$6025=S+0,5S-a+0,3b$$

Подставим $b=\frac{S}{2}-2,5a$:

$$6025=1,5S-a+0,3\left(\frac{S}{2}-2,5a \right)$$

$$6025=1,65S-a-0,75a$$

$$1,75a=1,65 \cdot 4350-6025=1152,5$$

$$a=1152,5 \cdot \frac{4}{7}$$

Посчитаем платеж 31 года (можно посмотреть, какой он, в таблице):

$$G_{31}=0,1(S-3a)+a=0,1S-0,3a+a=0,1S+0,7a=0,1 \cdot 4350+0,7\cdot 1152,5 \cdot \frac{4}{7}=435+115,25 \cdot 4=435+461=896$$

Ответ: платеж в 31 году составит 896 тыс. рублей.

Задача 3.  

(Ященко, 36 вариантов, 2025 г, вариант 15).  В августе 2027 года Дмитрий планирует взять кредит в банке на 8 лет. Условия его возврата таковы:

- в январе 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг увеличивается на 10 % от суммы долга на конец предыдущего года;

- в январе 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг увеличивается на 14 % от суммы долга на конец предыдущего года;

- в период с февраля по июль необходимо выплатить часть долга;

- в августе каждого года действия кредита долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на август предыдущего года;

- к августу 2035 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите сумму кредита (в млн рублей), если она на 1700 тыс. рублей меньше суммы общих выплат по кредиту.

Решение. Процент будет равен 10 в первые 4 года и 14 – в последующие 4 года.

Составим таблицу выплат:

Все, что мы выплатили банку – содержимое последнего столбца:

$$S+1700=S+0,1(8a+7a+6a+5a)+0,14(4a+3a+2a+a)$$

$$17000=26a+1,4 \cdot 10a$$

$$40a=17000$$

$$a=425$$

$$S=8a=425 \cdot 8=3400$$

Ответ: 3,4 млн