Кредит с обеими схемами: и дифференцированный платеж, и аннуитет.

Сейчас в моде задачи, в которых применяются обе схемы выплаты кредита: и дифференцированный платеж, и аннуитет. Это - одна из них.

Задача.  14 декабря 2021 года Андрей планирует взять кредит в банке на 1 185 100 рублей на 1 год. Условия возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 4% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2 по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга, причем последние три платежа должны быть равны $x$ рублей;

— 15 числа каждого месяца с первого по девятый долг должен быть на одну и ту же величину  меньше долга на 15 число предыдущего месяца.

Известно, что четвертая выплата составила 144 204 рубля. Найдите $x$.

Решение. Пусть в первые 9 месяцев Андрей платит по $a$ рублей из тела кредита. Тогда таблица его выплат будет выглядеть так:

Известна четвертая выплата: 144 204 рубля. То есть

$$0,04(S-3a)+a=144204$$

$$0,04\cdot 1 185 100-0,12a+a=144204$$

$$47404+0,88a=144204$$

$$0,88a=96800$$

$$a=110 000$$

Таким образом, через 9 месяцев Андрей выплатит 990 000. И его долг станет равен

$$A=1 185 100-990 000=195100$$

После чего на три последних месяца Андрей меняет схему выплаты кредита с дифференцированного платежа на аннуитет. И будет теперь платить банку фиксированную сумму $x$, которую нам предстоит найти.

$ A\cdot 1,04$ - долг Андрея к концу 10 месяца. Он выплачивает $x$ рублей:

$ A\cdot 1,04-x $ - долг Андрея на начало 11 месяца. Банк начисляет проценты:

$1,04\cdot(A\cdot 1,04-x)$ - долг Андрея на конец 11 месяца. Он выплачивает еще $x$ рублей:

$1,04\cdot(A\cdot 1,04-x)-x$ - долг Андрея на начало 12 месяца. Банк начисляет проценты:

$( (A\cdot 1,04-x) \cdot 1,04 -x)\cdot 1,04$ - долг Андрея на конец 12 месяца. Он выплачивает еще $x$ рублей и более ничего не должен банку:

$$( (A\cdot 1,04-x) \cdot 1,04 -x)\cdot 1,04 -x=0$$

$$1,04^3\cdot A=x+1,04x+1,04^2x$$

$$1,124864\cdot 195100=3,1216x$$

$$x=\frac{1,124864\cdot 195100}{3,1216}=70304$$

Ответ: $x=70 304$ руб.