Экономические задачи с реального ЕГЭ

Еще пара задач на кредиты. Особенность их в том, что все они были на реальном экзамене – две в 2020 году, одна – на досрочном в 2018.

Задача 1.

В июле 2020 года планируется взять кредит. Условия его возврата таковы:

- в январе каждого года долг увеличивается на 30% по сравнению с предыдущим годом;

- кредит будет выплачен за три года тремя равными платежами;

- общая сумма выплат больше суммы взятого кредита на 78030 рублей.

Определите, на какую сумму будет взят кредит.

Составим уравнение для выплат:

$$((SR-x)R-x)R-x=0$$

Здесь $x$ - одинаковые выплаты, их три, $R=1+\frac{r}{100}=1,3$.

$$SR^3-xR^2-xR-x=0$$

$$S\cdot 1,3^3=x\cdot 1,3^2+x1,3+x$$

$$\frac{13^3}{10^3}S=3,99x$$

$$13^3S=3990x$$

Также известно, что

$$3x-78030=S$$

Тогда

$$13^3(3x-78030)=3990x$$

$$13^3\cdot 3x-13^3\cdot78030=3990x$$

$$13^3\cdot 3x- 3990x =13^3\cdot78030$$

$$2601x =13^3\cdot78030$$

$$x=65910$$

А три платежа

$$3x=197730$$

Тогда сумма кредита равна

$$S=197730-78030=119700$$

Ответ: 119700 руб.

Задача 2.

В июле 2020 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

- в январе каждого года долг увеличивается на 20% по сравнению с предыдущим годом;

- с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.

Определите, какая сумма будет выплачена заемщиком банку, если кредит был полностью погашен равными платежами за три года и общая сумма выплат на 48250 рублей больше суммы взятого кредита.

Составим уравнение для выплат:

$$((SR-x)R-x)R-x=0$$

Здесь $x$ - одинаковые выплаты, их три, $R=1+\frac{r}{100}=1,2$.

$$SR^3-xR^2-xR-x=0$$

$$S\cdot 1,2^3=x\cdot 1,2^2+x1,2+x$$

$$\frac{12^3}{10^3}S=3,64x$$

$$12^3S=3640x$$

Также известно, что

$$3x-48250=S$$

Тогда

$$12^3(3x-48250)=3640x$$

$$12^3\cdot 3x-12^3\cdot48250=3640x$$

$$12^3\cdot 3x- 3640x =12^3\cdot48250$$

$$1544x =12^3\cdot48250$$

$$x=54000$$

А три выплаты

$$3x=162000$$

Ответ: будет выплачено 162000.

Задача 3.

(Петербург, 10 июля 2020 года, основная волна)

В июле 2020 года планируется взять кредит сроком на 5 лет в размере $S$ тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на $20$% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;

- в июле 2021, 2022 и 2023 годов долг остается равным $S$ тыс. руб.;

- суммы выплат 2024 и 2025 годов равны по 360 тыс. руб.

Найдите общую сумму выплат за пять лет.

Решение. В первые три года выплачивается по $0,2S$, где $S$ - сумма кредита.

Составим уравнение для последних двух выплат:

$$(SR-x)R-x=0$$

Здесь $x=360$ тысяч, $R=1+\frac{r}{100}=1,2$.

$$SR^2-xR-x=0$$

$$S1,2^2=2,2x=792$$

$$S=550$$

Общая сумма выплат будет равна

$$3\cdot 0,2S+2x=3\cdot 0,2\cdot 550+2\cdot360=1050$$

Ответ: выплачено 1050 тыс.