Экономические задачи из Ященко (36 вариантов 2025 г.)

Задача 1.

(Ященко, 36 вариантов, 2025 г, вариант 23).  В июле Максим планирует взять кредит в банке на некоторую сумму. Банк предложил Максиму два варианта кредитования.

1- й вариант:

- кредит предоставляется на 3 года;

- в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 20 % от суммы долга на конец предыдущего года;

- в период с февраля по июнь каждого года действия кредита выплачиваются равные суммы, причём последний платёж должен погасить долг по кредиту полностью.

2- й вариант:

- кредит предоставляется на 2 года;

- в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 24 %;

- в период с февраля по июнь каждого года действия кредита выплачиваются равные суммы, причём последний платёж должен погасить долг по кредиту полностью.

Когда Максим подсчитал, то выяснил, что по 1-му варианту кредитования ему придётся выплачивать на 373 600 рублей больше, чем по 2-му варианту. Какую сумму Максим планирует взять в кредит?

Решение. Составим два уравнения для обоих вариантов. Рассмотрим первый. Пусть долг перед баном $S$ (сумма, которую берут в кредит и которую надо найти). Тогда банк начислит на нее процент, и через год Максим будет должен $1,2S$. После начисления процентов Максим выплачивает часть долга $x$, и остается должен $1,2S-x$. На эту сумму банк начисляет проценты на второй год: $1,2(1,2S-x)$, а Максим выплачивает еще часть долга и остается должен $1,2(1,2S-x)-x$  - к началу третьего года. На эту оставшуюся сумму банк снова начисляет проценты: $1,2(1,2(1,2S-x)-x)$, а Максим вносит третий платеж и больше ничего не должен!

$$1,2(1,2(1,2S-x)-x)-x=0$$

Перепишем иначе:

$$1,2^3S=x+1,2x+1,44x=3,64x$$

Рассуждая аналогичным образом, составляем уравнение для второго варианта кредита, при этом платеж - $y$:

$$(1,24S-y)\cdot 1,24-y=0$$

Или

$$1,24^2S=2,24y$$

Платеж по первому варианту кредита составит

$$x=\frac{S\cdot 1,2^3}{3,64}$$

По второму варианту

$$y=\frac{1,24^2S}{2,24}$$

И в задаче сказано, что суммы платежей отличаются на 373,6 тыс. рублей:

$$3x-373,6=2y$$

$$\frac{3S\cdot 1,2^3}{3,64}-373,6=\frac{2S\cdot 1,24^2}{2,24}$$

Да, не пожалели нас, расчеты будут ого-го. Давайте сокращать, насколько это возможно:

$$\frac{3S\cdot 1,2^2\cdot 0,6}{1,82}-373,6=\frac{S\cdot 1,24^2}{1,12}$$

$$\frac{3S\cdot 1,2\cdot 0,6^2}{0,91}-373,6=\frac{S\cdot 1,24\cdot0,62}{0,56}$$

$$\frac{3S\cdot 1,2\cdot 36}{91}-373,6=\frac{S\cdot 1,24\cdot0,31}{0,28}$$

$$\frac{3S\cdot 1,2\cdot 36}{91}-373,6=\frac{S\cdot 0,62\cdot 0,31}{0,14}$$

$$\frac{3S\cdot 1,2\cdot 36}{91}-373,6=\frac{S\cdot 0,31\cdot 0,31}{0,07}$$

$$\frac{3S\cdot 1,2\cdot 36}{91}-373,6=\frac{S\cdot 31\cdot 0,31}{7}$$

$$\frac{3S\cdot 1,2\cdot 36}{91}-\frac{S\cdot 31\cdot 0,31\cdot 13}{7\cdot 13} =373,6$$

$$\frac{S\cdot 1,2\cdot 108}{91}-\frac{S\cdot 31\cdot 31\cdot 0,13}{91} =373,6$$

$$\frac{129,6-124,93}{91}S=373,6$$

$$\frac{4,67S}{91}=373,6$$

$$S=\frac{373,6\cdot 91}{4,67}=80\cdot 91=7280$$

Ответ: Максим планирует взять в кредит 7 млн. 280 тыс. руб.

 

Задача 2.

(Ященко, 36 вариантов, 2025 г, вариант 25).  В июне 2025 года бизнесмен Вадим Олегович планирует взять кредит в банке на 4 года. Условия его возврата таковы:

- в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 10 % от суммы долга на конец предыдущего года;

‒ в период с февраля по июнь каждого из 2026, 2027 и 2028 годов необходимо выплатить часть долга, причём каждый из платежей 2027 и 2028 годов в 1,5 раза больше платежа предыдущего года;

- в период с февраля по июнь 2029 года выплачивается оставшаяся сумма по кредиту, равная 3 004 400 рублям.

Найдите сумму кредита, если общие выплаты по нему составили 10 904 840 рублей.

Решение. Составим таблицу, в которой представим, как уменьшается долг и каковы будут платежи.

Таблица

Понятно, что платежи отличаются в полтора раза, непонятно, сколько денег из этих платежей – проценты, а сколько – из тела кредита выплачено. Вот с этим и разберемся. Чтобы это узнать, из второго платежа вычтем проценты:

$$(0,1S+a)\cdot 1,5-0,1(S-a)=0,15S+1,5a-0,1S+0,1a=0,05S+1,6a$$

Эта сумма $0,05S+1,6a$ выплачена во второй раз из тела кредита. А в первый раз выплачено $a$ рублей. Значит, долг на начало третьего года $S-(0,05S+1,6a)-a=0,95S-2,6a$.

Теперь так же поступим с третьим платежом. Вычтем из него проценты, чтобы найти, сколько, собственно, из тела кредита платится:

$$(0,1S+a)\cdot 2,25-(0,95S-2,6a)\cdot 0,1=0,225S+2,25a-0,095S+0,26a=2,51a+0,13S$$

Таким образом, на четвертый год останется заплатить (именно из тела кредита)

$$S-a-0,05S-1,6a-2,51a-0,13S=0,82S-5,11a=\frac{3304840}{1,1}=3 004 400$$

С другой стороны, все выплаты по кредиту – это:

$$0,1S+a+(0,1S+a)\cdot 1,5+(0,1S+a)\cdot 2,25+3 304 840=10 904 840$$

$$(0,1S+a)\cdot 4,75=7 600 000$$

Откуда $0,1S+a=1 600 000$.

$$0,1S=1 600 000 -a$$

Подставим:

$$0,82S-5,11a=3 004 400$$

$$8,2(1 600 000 -a)-5,11a=3 004 400$$

$$13 120 000-13,31a=3 004 400$$

$$13,31a=13 120 000-3 004 400=10 115 600$$

$$a=760 000$$

$$0,1S=1600-760=840$$

$$S=8400$$

Ответ: 8400.

 

Задача 3.

(Ященко, 36 вариантов, 2025 г, вариант 27).  15 июня 2025 года бизнесмен Сергей Данилович планирует взять кредит в банке на 4 года в размере целого числа миллионов рублей. Условия его возврата таковы:

- в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 15 % от суммы долга на конец предыдущего года;

- в период с февраля по июнь в каждый из 2026 и 2027 годов необходимо выплатить только начисленные в январе проценты по кредиту;

- в период с февраля по июнь в каждый из 2028 и 2029 годов выплачиваются равные суммы, причём последний платёж должен погасить долг по кредиту полностью.

Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат по кредиту превысит 12 млн рублей.

Решение. В первый и второй год выплачиваем по $0,15S$ (только проценты) и выплатим $0,3S$. Далее аннуитетная схема:

$$(S\cdot 1,15-x)\cdot 1,15-x=0$$

$$ S\cdot 1,15^2=2,15x$$

$$x=\frac{ S\cdot 1,15^2}{2,15}$$

Общая сумма выплат будет такая:

$$0,3S+2x=0,3S+\frac{ 2S\cdot 1,15^2}{2,15}>12$$

$$1,53023S>12$$

$$S>7,84$$

$$S=8$$

Ответ: 8 млн.