Экономические задачи: дифференцированный платеж с нарушенной схемой.

Решим несколько задач на кредиты. Первые две - с нарушенной схемой, а третья - просто интересная задача с двумя известными выплатами. Схема - дифференцированный платеж. Поэтому таблицу к каждой задаче рекомендую составлять.

Задача 1.

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн. рублей, где S – целое число. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

- в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:

а) Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет больше 5 млн рублей.

б) Найдите наибольшее значение S, при котором разница между наибольшей и наименьшей выплатами будет меньше 1 млн рублей.

в) Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число млн рублей.

Решение. Сначала составим таблицу, которая поможет определить выплаты.

Задача 3.

Рассчитаем все выплаты: первая – $0,55S$, вторая - $0,475S$, третья - $0,5S$. Теперь можно начать отвечать на вопросы.

а) Чтобы найти наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет больше 5 млн рублей, нужно взять наименьшую выплату, и потребовать, чтобы она была больше 5 млн.

$$0,475S>5$$

$$S>\frac{5}{0,475}=10,52$$

Таким образом, $S$ - целое число, большее 10,5 – это 11.

б) Чтобы найти наибольшее значение S, при котором разница между наибольшей и наименьшей выплатами будет меньше 1 млн рублей, нужно найти разницу между наибольшей и наименьшей выплатами, и потребовать, чтобы она была меньше 1 млн:

$$0,55S-0,475S=0,075S<1$$

$$S<\frac{1}{0,075}=13,33$$

Таким образом, $S$ - целое число, меньшее 13,3 – это 13.

в) Чтобы ответить на третий вопрос задачи, нужно представить наши выплаты обыкновенными дробями:

$$0,55S=\frac{55S}{100}=\frac{11}{20}$$

$$0,475S=\frac{475S}{1000}=\frac{19}{40}$$

$$0,5S=\frac{5S}{10}$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{22}{40}; \frac{19}{40}; \frac{20S}{40}$$

Наибольший знаменатель – 40, пусть $S=40$, тогда все выплаты будут целым числом миллионов – 22, 19 и 20.

Ответ: а) 11;  б) 13;  в) 40.

Задача 2.

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 13 месяцев. Условия возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 12-й долг должен быть на 50 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— к 15-му числу 13-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 804 тысячи рублей?

Составим таблицу:

Задача 3.

Составим уравнение:

$$804=12\cdot50+S-600+0,02(S+S-50+S-100+S-150+…+S-600)$$

$$804=S+0,02(13S-50-100-150-…-600)$$

$$804=S+0,02(13S-\frac{50+600}{2}\cdot 12)$$

$$804=S+0,26S-0,02\frac{50+600}{2}\cdot 12)$$

$$804=1,26S-78$$

$$882=1,26S$$

$$S=700$$

Ответ: взяли 700 тыс.

Задача 3.

15-го января планируется взять кредит в банке в размере $S$  рублей на $n$ месяцев. Условия возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину $A$ меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

Найдите $n$, $S$, $A$, $D$ - общую сумму выплат после погашения кредита, если известно, что четвертая выплата составила 17700, а девятая – 16200 р.

Составим таблицу:

Задача 3.

Запишем четвертую выплату:

$$(S-3A)\cdot 0,02+A=17700$$

И девятую:

$$(S-8A)\cdot 0,02+A=16200$$

Вычтем из первого уравнения второе:

$$0,02(8A-3A)=1500$$

$$A=15000$$

Тогда

$$(S-3A) \cdot 0,02=2700$$

$$S=\frac{2700}{0,02}+3A=135000+45000=180000$$

$$n=12$$

Наконец, осталось определить, сколько всего было выплачено банку:

$$D=180+0,02(180+165+…15)=180+0,02\cdot\frac{180+15}{2}\cdot12=203,4$$

Ответ: $n=12$, $A=15000$, $S=180000$, $D=203,4$.