Экономическая задача с объединением отделений банка

Задачу прислал мой читатель Владимир Герасименко, спасибо ему большое. В ЕГЭ под номером 17 теперь можно встретить различного типа задачи, и даже такие, которые больше относятся к физическим. Чем больше задач освоено в период подготовки - тем больше шансов решить задачу на экзамене.

Задача. В первом отделении банка $45$% от общего числа клиентов составляют бюджетные организации и $55$% частные клиенты, во втором отделении $10$% составляют корпоративные клиенты, $40$% бюджетные организации и $50$% частные клиенты, в третьем отделении $30$% -   корпоративные клиенты, $70$% -  частные клиенты. После объединения трех отделений корпоративные клиенты составляют 15%. Найдите промежуток, в пределах которого может находиться процент частных клиентов.

Решение. Запишем условие в виде таблицы:

Рисунок 1

Пусть в первом отделении всего $x$ клиентов, во втором - $y$, а в третьем - $z$. Тогда таблица может быть представлена так:

Рисунок 2

Когда произошло объединение, то клиенты всех трех отделений «сложились»: $x+y+z$.

В последней строке таблицы отражено, каким стало количество корпоративных, частных клиентов и бюджетных организаций. Видно, что корпоративных клиентов стало $0,1y+0,3z$, и это 15% от общего количества:

$$0,1y+0,3z=0,15(x+y+z)$$

Упростим это выражение и выразим $z$:

$$0,1y+0,3z=0,15x+0,15y+0,15z$$

$$0,15z=0,15x+0,05y$$

$$z=x+\frac{y}{3}$$

Нам нужно найти процент частных клиентов. Поэтому нам надо найти отношение количества частных клиентов к общему числу, и выразить его в процентах:

$$Q=\frac{0,55x+0,5y+0,7z }{x+y+z}\cdot 100$$

Подставим полученное ранее $z$:

$$Q=\frac{0,55x+0,5y+0,7z }{x+y+z}\cdot 100=\frac{0,55x+0,5y+0,7(x+\frac{y}{3}) }{x+y+ x+\frac{y}{3}}\cdot 100=\frac{1,25x+\frac{2,2y}{3} }{2x+\frac{4y}{3}}\cdot 100$$

Домножим числитель и знаменатель на 3:

$$Q=\frac{3,75x+2,2y }{6x+4y}\cdot 100$$

Теперь разделим еще на $y$:

$$Q=\frac{3,75\frac{x}{y}+2,2 }{6\frac {x}{y} +4}\cdot 100$$

Отношение $\frac{x}{y}$ может быть любым от нуля до бесконечности. Если это отношение равно 0, то искомая величина

$$Q=\frac{2,2 }{4}\cdot 100=55$$

Чтобы определить, каким $Q$  будет при $\frac{x}{y}=\infty$, нужно переписать искомую величину так:

$$Q=\frac{3,75+\frac{2,2}{\frac{x}{y}} }{6 +\frac{4}{\frac {x}{y}}}\cdot 100$$

Тогда при подстановке $\frac{x}{y}=\infty$ слагаемые числителя и знаменателя, куда входит отношение $\frac{x}{y}$, станут равными 0, и мы получим:

$$Q=\frac{3,75}{6}=62,5$$

Таким образом, процент частных клиентов будет составлять $Q \in (55;62,5)$, крайние точки не войдут в решение, так как отношение $\frac{x}{y}$ может стремиться к нулю или к бесконечности, но не достигает крайних значений.

Ответ: $Q \in (55;62,5) $%.