Запутанная задача на движение

Задача.

Винни Пух и Пятачок задумали напугать друг друга. Нарядились в страшные костюмы и одновременно отправились друг друга навестить. Когда они неожиданно столкнулись на дороге, то так сильно испугались,
что быстро развернулись и побежали к своим домам, увеличив свою первоначальную скорость в 3 раза и потратив на обратный путь 48 минут. Если бы не встреча, то один из них прошел бы весь путь от своего дома до дома друга на 2 часа быстрее, чем второй. За сколько часов пробежал бы весь этот путь Винни Пух, если известно, что он перед выходом наелся варенья и бежал медленнее, чем Пятачок?

Решение. Пусть расстояние, которое Винни и Пятачок пробежали до своих домов, испугавшись, равно $3x\cdot \frac{4}{5}$ для одного из них и $3y\cdot \frac{4}{5}$ - для другого. Здесь $x$ - скорость одного из них до того, как он испугался, $y$ - скорость другого до испуга. Когда Винни и Пятачок испугались, они увеличили скорости в три раза: $3x$ и $3y$. Бежали они 48 минут – это $\frac{4}{5}$ часа. Таким образом, расстояние между их домами

$$S=3x\cdot \frac{4}{5}+3y\cdot \frac{4}{5}$$

Тогда время движения от дома до дома для одного (без испуга)

$$t_1=\frac{S}{x}$$

А для другого

$$t_2=\frac{S}{y}$$

Эти два времени отличаются на два часа:

$$\frac{S}{x}-\frac{S}{y}=2$$

$$\frac{(3x+3y) \cdot \frac{4}{5}}{x}-\frac{(3x+3y) \cdot \frac{4}{5}}{y}=2$$

$$\frac{12}{5}+\frac{12y}{5x}-\frac{12x}{5y}-\frac{12}{5}=2$$

$$\frac{12y}{5x}-\frac{12x}{5y}=2$$

$$\frac{y}{x}-\frac{x}{y}=\frac{10}{12}$$

Обозначим $\frac{y}{x}=t$:

$$t-\frac{1}{t}-\frac{5}{6}=0$$

$$t^2-\frac{5}{6}t-1=0$$

Дискриминант:

$$D=\frac{169}{36}$$

Корни:

$$t_1=\frac{\frac{5}{6}+\frac{13}{6}}{2}=1,5$$

$$t_2=\frac{\frac{5}{6}-\frac{13}{6}}{2}=-\frac{2}{3}$$

Второй корень – посторонний. Таким образом,

$$\frac{y}{x}=1,5$$

$$y=1,5x$$

Вернемся к

$$\frac{S}{x}-\frac{S}{y}=2$$

$$\frac{S}{x}-\frac{S}{1,5x}=2$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{1,5S}{1,5x}-\frac{S}{1,5x}=2$$

Получаем:

$$\frac{0,5S}{1,5x}=2$$

Тогда весь путь равен

$$S=6x$$

Или

$$S=4y$$

А время

$$t_1=\frac{S}{x}=6$$

$$t_2=\frac{S}{y}=4$$

Скорость Пуха меньше, чем скорость Пятачка, поэтому она равна $x$, и Пух прошел бы все расстояние за 6 часов. А Пятачок – за 4 часа.

Ответ: за 6 часов.