Учимся решать квадратные уравнения - 1

Сегодня будем учиться решать квадратные уравнения быстро и эффективно, без ошибок и временных затрат.  Изучим 4 способа быстро решить самое неприятное уравнение, в том числе с большими коэффициентами.

Дискриминант у меня – последнее средство, когда уже «против лома нет приема». До применения дискриминанта я 1) проверю коэффициенты; 2) Виета; 3) переброску; 4) $D_1$ - дискриминант, деленный на 4. И только если ничего из вышеперечисленного не сработало – вот только тогда, вздохнув, я считаю дискриминант.

Итак, коэффициенты. Квадратное уравнение в общем виде выглядит так:

$$ax^2+bx+c=0$$

Вот они, коэффициенты - $a, b, c$. Если вы заметили, что $a+b+c=0$, то первый корень уравнения - $x_1=1$, второй $x_2=\frac{c}{a}$.

Если вы заметили, что $b=c+a$ (средний равен сумме крайних), то первый корень $x_1=-1$, второй - $x_2=-\frac{c}{a}$. Это – следствие из теоремы Виета. И это первое, что я проверяю, глядя на уравнение. Конечно, просто глазами проверяю. Примеры:

$$5x^2+3x-2=0$$

Средний коэффициент равен сумме крайних, корни $-1$ и $\frac{2}{3}$.

 

$$x^2-7x+6=0$$

Сумма коэффициентов ноль – первый корень $1$, второй - $6$. Здесь и по Виету можно было, уравнение приведенное.

 

$$313x^2+326x+13=0$$

Ну какой разумный человек будет тут считать дискриминант? Даже с $D_1$ намучаешься! А тут средний коэффициент равен сумме крайних – и сразу ответ: $-1$ и $-\frac{13}{313}$. Но, правда, надо научиться видеть это.

 

Еще пример:

$$345x^2+137x-208=0$$

Вот пример, где «увидеть» коэффициенты можно не сразу. Но вообще подсказка содержится в самом примере – такой «ужас-ужас» часто решается по коэффициентам. Здесь корни $-1$ и $\frac{208}{345}$.

 

И последний пример:

$$x^2+2024x-2025=0$$

Очень яркий пример, где коэффициенты громоздки и подсчет дискриминанта пугает, но решается «одной левой» если знаешь про вышеприведенное свойство. Опять же, Виета никто не отменял, уравнение приведенное и Виетом легко берется.

Кстати, про Виета. Это второе, что я проверяю, глядя на уравнение. Проверяю устно, если быстро не выходит – ищу другие подходы. Этим способом решаются приведенные уравнения, у которых старший коэффициент – 1.

$$x^2+px+q=0$$

Согласно теореме Виета,

$$\Bigg\{ \begin{matrix} x_1+x_2=-p \\ x_1\cdot x_2=q \end{matrix}$$

Примеры:

$$x^2+10x-24=0$$

Во-первых, произведение корней $-24$ - что означает, что корни разных знаков. Сумма их $-10$ - значит, отрицательный больше по модулю. Ну и думаем, что дает в произведении 24:

$$24=3\cdot 8=4\cdot 6=2\cdot 12$$

И, проверяя числа из произведений на возможную сумму, видим, что последний вариант в виде $x_1=2$, $x_2=-12$ нам подходит. Все, решили.

 

Второй пример.

$$x^2-x-72=0$$

Уравнение приведенное, Виетом решать можно. Корни разных знаков – их произведение отрицательно, при этом их сумма 1 – значит, их модули и отличаются на 1 – логично, что это $8\cdot 9=72$, то есть корни 9 и $-8$.

 

$$x^2+40x-500=0$$

Уравнение прямиком из текстовой задачи на движение. Решаем по Виету: произведение корней $-500$, корни разных знаков, сумма $-40$ - это числа $-50$ и $10$. Не забываем, что сумма – второй коэффициент с противоположным знаком!

 

Еще примеры:

$$x^2+30x-1800=0$$

Корни $-60$ и $30$.

 

$$x^2-5x-750=0$$

Корни $30$ и $-25$.

 

$$x^2+10x-39=0$$

Корни $-13$ и $3$.

 

$$x^2+16x+63=0$$

Корни одного знака, оба отрицательные – ведь их сумма $-16$. Это $-9$ и $-7$.

Ладно, переходим к переброске. Это когда у нас не работают коэффициенты и уравнение не приведенное, по Виету не решишь. Пример:

$$100x^2-100x-11=0$$

«Перебрасывать» будем старший коэффициент, и уравнение будет, конечно, уже совсем другое:

$$t^2-100t-11\cdot 100=0$$

$$t^2-100t-1100=0$$

И оно решается по Виету! Корни $t_1=-10$ и $t_2=110$. Однако это корни не нашего уравнения, а того, которое мы получили в результате переброски. Наши корни в 100 раз меньше – потому что перебрасывали сотню:

$$x_1=\frac{t_1}{100}=-0,1$$

$$x_2=\frac{t_2}{100}=1,1$$

 

Еще пример:

$$16x^2-255x-16=0$$

Перебрасываем 16:

$$t^2-255t-256=0$$

Опа! – оно решается по коэффициентам. Корни $t_1=-1$ и $t_2=256$, наши же корни в 16 раз меньше: $x_1=-\frac{1}{16}$ и $x_2=16$.

 

$$5x^2-51x+10=0$$

Переброска:

$$t^2-51t+10\cdot 5=0$$

$$ t^2-51t+50=0$$

Очень часто после переброски срабатывают коэффициенты или же Виет: здесь сумма коэффициентов ноль, корни $t_1=1$, $t_2=50$, наши корни меньше в 5 раз: $x_1=0,2$, $x_2=10$.

 

$$3x^2-32x-48=0$$

Переброска:

$$t^2-32t-144=0$$

По Виету корни $36$ и $-4$. Наши, истинные, втрое меньше: $12$ и $-\frac{4}{3}$. Ловко?

 

$$2x^2-9x-110=0$$

$$t^2-9t-220=0$$

Корни по Виету $20$ и $-11$, а искомые, значит, $x_1=\frac{20}{2}=10$ и $x_2=\frac{-11}{2}=-5,5$.

 

$$10x^2-11x+3=0$$

$$t^2-11t+30=0$$

По Виету корни 5 и 6, наши в 10 раз меньше - $0,5$ и $0,6$.

Иногда не работают все три способа. Но зато второй коэффициент четный, тогда можно посчитать упрощенную версию дискриминанта - $D_1$. Это попросту дискриминант, деленный на 4:

$$D_1=\frac{D}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac$$

Корни тоже определяют немного иначе:

$$x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm \sqrt{D_1}}{a}$$

Пример:

$$7x^2-80x+33=0$$

Здесь не помогают ни коэффициенты, ни Виет, ни переброска… Пробуем $D_1$.

$$D_1=40^2-7\cdot 33=1600-231=1369$$

Можно подобрать число, которое в квадрате дает 1369 – это нетрудно, или извлечь корень в столбик – смотрите видео на Ютубе, или хорошо знать таблицу квадратов, но это сильно!

Подберем.

$$900<1369<1600$$

$$30<\sqrt{D_1}<40$$

Число между 30 и 40, ближе к 40, оканчивается на 3 или 7. Видимо, 37. Но проверить умножением надо – обидно, если из-за ошибки в этом месте потеряем баллы.

Корни

$$x_1=\frac{40+37}{7}=11$$

$$x_2=\frac{40-37}{7}=\frac{3}{7}$$

Все-таки попробуем и переброску:

$$t^2-80t+33\cdot7=0$$

$$t^2-80t+11\cdot7\cdot 3=0$$

Корни по Виету 77 и 3!

Второй пример:

$$11x^2-240x-44=0$$

$$D_1=120^2+44\cdot 11=14400+484=14884$$

Я бы извлекла в столбик (видео на Ютуб). Но можно и догадаться: совсем чуть-чуть больше $120^2$ и оканчивается на 2- $122^2$. Проверьте обязательно умножением – это быстро!

Корни

$$x_1=\frac{120+122}{11}=22$$

$$x_2=\frac{120-122}{11}=-\frac{2}{11}$$

 

Пример 3:

$$x^2-8x-768=0$$

$$D_1=4^2+768=784=28^2$$

Корни

$$x_1=\frac{4+28}{1}=32$$

$$x_2=\frac{4-28}{1}=-24$$

 

Пример 4:

$$3x^2+112x-363=0$$

$$D_1=56^2+3\cdot 363=3136+1089=4225$$

Тут пригодится еще один навык: возводить в квадрат числа, оканчивающиеся на 5. Про лайфхаки быстрого счета тоже есть видео.

$$D_1=65^2$$

Корни

$$ x_1=\frac{-56+65}{3}=3$$

$$x_2=\frac{-56-65}{3}=-\frac{121}{3}$$

Иногда не хватает и этих навыков. Как «бороться» с четырехзначными и пятизначными дискриминантами – читайте через три дня, в следующей статье!

Для тренировки можно решить примеры:

На способ решения по коэффициентам:

$$3x^2+x-4=0$$

$$5x^2-11x-16=0$$

$$10x^2-20190x-20200=0$$

$$x^2-2x-3=0$$

$$x^2+2x-3=0$$

$$x^2+40x-41=0$$

$$3x^2-5x+2=0$$

$$x^2-69x+68=0$$

$$x^2-4x-5=0$$

$$3x^2-8x+5=0$$

$$2x^2-9x+7=0$$

$$5x^2-2x-3=0$$

$$2x^2+11x-13=0$$

$$11x^2+18x+7=0$$

$$8x^2-17x+9=0$$

$$4x^2-19x-23=0$$

На Виета:

$$x^2-3x+42=0$$

$$x^2-80x+164=0$$

$$x^2+40x-41=0$$

$$x^2+45x-4050=0$$

$$x^2+x-420=0$$

$$x^2+9x+20=0$$

$$x^2+7x-8=0$$

$$x^2-4x-5=0$$

$$x^2-27x+50=0$$

$$x^2-14x+48=0$$

$$x^2-7x-60=0$$

$$x^2+21x+90=0$$

 

На переброску:

$$2x^2-9x+9=0$$

$$3x^2+11x+6=0$$

$$4x^2+12x+5=0$$

$$3x^2+x-4=0$$

$$2x^2+x-10=0$$

$$6x^2+5x-6=0$$

$$5x^2-11x-16=0$$

$$2x^2-3x-20=0$$

$$3x^2+16x-35=0$$

$$9x^2-6x+1=0$$

$$14x^2-41x-3=0$$

$$4x^2+12x+9=0$$

$$3x^2-5x-2=0$$

$$2x^2+11x-13=0$$

 

На $D_1$:

$$3x^2+16x-35=0$$

$$9x^2-6x+1=0$$

$$x^2-16x-420=0$$

$$x^2+12x-12960=0$$

$$x^2-4x-5=0$$

$$3x^2-20x+12=0$$

$$8x^2+14x+3=0$$

$$4x^2+16x-9=0$$

$$7x^2-12x-4=0$$

$$19x^2-4x-23=0$$