Маляры и косари: нестандартные задачи на совместную работу

Задача 1.

Бригаде маляров надо было покрасить два забора, один из которых в два раза  больше второго. В первый день вся бригада красила больший забор, а во второй день разделилась: три маляра продолжили красить больший забор, а остальные пошли красить меньший. Оба забора были докрашены к вечеру второго дня. Сколько маляров в бригаде? Производительность маляров одинаковая, маляры не устают и работают одно и то же количество часов в день.

Решение. Пусть длина заборов $L$ и $2L$. Тогда, если маляров в бригаде $x$ человек, то в первый день была покрашена часть большего забора, равная  $axt$, где $a$ - производительность маляра, $t$ - количество часов работы в день. Тогда от большего забора осталось покрасить $2L-axt$, что и сделали три маляра во второй день, значит,

$$2L-axt=3at$$

На меньший забор было брошено $x-3$ человека, и они справились за то же время $t$:

$$L=(x-3)at$$

Умножим на два:

$$2L=2at(x-3)$$

Приравняем:

$$3at+axt=2axt-6at$$

Сокращаем на производительность:

$$3t+6t=2xt-xt$$

И на $t$:

$$9=x$$

Ответ: 9 человек.

Геометрическое решение. Нарисуем заборы:

Два забора: маленький и большой

Из рисунка понятно, что рыжий прямоугольничек – четверть длины большего забора. А значит, раз его красили трое, то меньший забор – две четверти большего – красили шестеро. Ответ – 9.

Задача 2.

На тему двух заборов вспомнилась похожая задача, которая, по легенде, очень понравилась Льву Николаевичу Толстому.

Артель косцов (будем теперь выражаться более современно — бригада косарей) должна была скосить два луга, один по площади ровно в два раза больше другого. Первую половину дня вся бригада косила большой луг. Затем половина бригады осталась докашивать большой луг (и докосила его к концу дня), а другая половина взялась за малый луг. К концу дня на малом лугу остался недокошенный участок, на который один косарь потратил весь следующий день.

Сколько косарей было в бригаде?

Конечно, подразумевается, что производительность всех косарей (как и маляров) одинаковая.

Решение. Пусть большой луг опять $2L$, малый -  $L$. Снова $x$ косарей с производительностью $a$ работают $t$ часов, это полдня. Целый день - $2t$ часов. Часть большего луга, скошенная в первой половине дня – это $axt$. Осталось $2L-axt$, и с этой работой справляется половина народу:

$$2L-axt=a\frac{x}{2}t$$

Упрощаем:

$$2L=\frac{3}{2}axt$$

Недокошенной остается часть $x\cdot 2t$, так как $t$ - полдня. Значит, вторая половина бригады скосила $ a\frac{x}{2}t$, а это $L-2xt$:

$$ L-2xt= a\frac{x}{2}t~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

Умножаем на три:

$$ 3(L-2xt)= \frac{3}{2}axt$$

Но правая часть равна $2L$, приравниваем:

$$ 3(L-2xt)=2L$$

$$3L-6xt=2L$$

$$L=6xt$$

Подставим в (1):

$$6xt-2xt= \frac{1}{2}axt$$

Сократим на $xt$:

$$4= \frac{a}{2}$$

$$a=8$$

Ответ: 8 косарей.

Другое решение, которое можно нарисовать и сделать графическим: на большом лугу работала вся бригада, а потом то же время – половина бригады. Значит, за первую половину дня скосили $\frac{2}{3}$ большого луга, за вторую половину дня - $\frac{1}{3}$. Вторая половина бригады скосила в это время такую же площадь на меньшем лугу, только второй-то луг меньше, поэтому на нем это $\frac{2}{3}$ площади. Значит, недокошенной осталась $\frac{1}{3}$ малого луга, с которой справился один человек за день. А за полдня справились бы вдвоем. Если на одну треть малого луга нужно двое, то на две трети – четверо. То есть полбригады – четыре человека. Ответ: 8 человек в бригаде.