Хитрые задачи на сплавы-смеси

Задача 1.

Ящик вмещает 12 кг крупы высшего или 16 кг крупы третьего сорта.  Если ящик заполнить крупой высшего и третьего сорта так, что их стоимости одинаковы, то в ящике окажется 15 кг смеси на сумму 180 рублей. Сколько стоит 1 кг крупы третьего сорта? 

Решение. Килограмм крупы высшего сорта занимает объем $\frac{V}{12}$, где $V$ - объем ящика. Килограмм крупы третьего сорта занимает $\frac{V}{16}$. Пусть в смеси $x$ килограммов крупы высшего сорта и $y$ кг – третьего. Тогда 15 кг складываются из:

$$x+y=15$$

А объем ящика сложится из объемов обеих круп. Объем крупы высшего сорта $x\cdot \frac{V}{12}$, объем крупы третьего сорта - $y\cdot \frac{V}{16}$. То есть

$$V= x\cdot \frac{V}{12}+ y\cdot \frac{V}{16}$$

Разделив на $V$, получим

$$1=\frac{x}{12}+\frac{y}{16}$$

Так как

$$y=15-x$$

То

$$1=\frac{x}{12}+\frac{15-x}{16}$$

Домножим на 48:

$$48=4x+3(15-x)$$

Или

$$x=3$$

Так как стоимости круп одинаковы, то это количество крупы высшего сорта стоит 90 р, или по 30 руб/кг. Крупы третьего сорта оказалось 12 кг, ее стоимость тоже 90 р. То есть цена крупы третьего сорта 7,5 руб/ кг.

Другой способ, более «физический», через плотность:

Килограмм крупы высшего сорта занимает объем $\frac{V}{12}$, где $V$ - объем ящика. Килограмм крупы третьего сорта занимает $\frac{V}{16}$. Килограмм смеси займет $\frac{V}{15}$. Если в смеси $V_1$ крупы высшего сорта и $V_2$ крупы третьего сорта, то масса смеси будет $\frac{15}{V}\cdot (V_1+V_2)$. С другой стороны, это сумма масс обеих круп:

$$\frac{15}{V}\cdot (V_1+V_2)=\frac{12}{V}\cdot V_1+\frac{16}{V}\cdot V_2$$

Умножим на $V$ обе части:

$$12V_1+16V_2=15V_1+15V_2$$

$$V_2=3V_1$$

Так как

$$V=V_1+V_2$$

То

3V_1+V_1=V$$

$$V_1=frac{V}{4}$$

$$V_2=frac{3}{4}V$$

Масса крупы высшего сорта тогда

$$M_B=frac{V_1}{frac{V}{12}}=frac{V}{4}cdot frac{12}{V}=3$$

Масса крупы третьего сорта

$$M_3=frac{V_2}{frac{V}{16}}=frac{3V}{4}cdot frac{16}{V}=12$$

А дальше аналогично находим цену.

Ответ: цена крупы высшего сорта 30 руб/кг, третьего сорта – 7,5 руб/кг.

 

Задача 2.

В сосуде 12 литров кислоты. Часть кислоты отлили и долили водой. Затем опять столько же отлили и долили водой. Концентрация кислоты стала 0,25. Сколько литров отливали каждый раз?

Решение. Пусть отливали $x$ литров. Тогда в первый раз кислоты осталось $12-x$, и ее концентрация стала равна $\\frac{12-x}{12}$ - мы эту концентрацию не знаем. Во второй раз отлили снова $x$ литров содержимого. Но эти $x$ литров содержат кислоты меньше, чем в первый раз – концентрация-то уменьшилась. Найдем, сколько в отливаемых $x$ литрах содержимого - кислоты:

$$frac{12-x}{12}cdot x$$

Таким образом, в сосуде осталось $12-x-\\frac{12-x}{12}\\cdot x$ кислоты, а ее концентрация $\\frac{12-x-\\frac{12-x}{12}\\cdot x}{12}$ – и вот она нам уже известна и равна 0,25. Решим уравнение:

$$frac{12-x-frac{12-x}{12}cdot x}{12}=0,25$$

Умножим на 12:

$$12-x-frac{12-x}{12}cdot x=3$$

Переносим тройку и делим почленно:

$$9-x-x+frac{x^2}{12}=0$$

Или

$$x^2-24x+108=0$$

Один из корней посторонний, остался наш корень, $x=6$.

Ответ: отливали по половине, по 6 л.

 

Задача 3.

В сосуде $x$ литров глицерина. Отлили два литра, добавили воды. Сделали так три раза. Воды получилось на три литра больше, чем глицерина. Сколько глицерина было в сосуде?

Решение. Сначала в сосуде чистый глицерин. После первого отливания его осталось в сосуде $x-2$ л. Концентрация получилась $\\frac{x-2}{x}$. Отливаем еще 2 л. В этих двух литрах глицерина содержится $2\\cdot\\frac{x-2}{x}$, поэтому в сосуде его осталось $x-2-2\\cdot\\frac{x-2}{x}$, и концентрация стала равна $\\frac{ x-2-2\\cdot\\frac{x-2}{x}}{x}$. Третий раз отливаем, в этих двух литрах содержится $2\\cdot\\frac{x-2-\\frac{(x-2)2}{x}}{x}}{x}$ глицерина. А в сосуде его осталось

$$m_{gl}= x-2-2cdotfrac{x-2}{x}-2cdotfrac{x-2-frac{(x-2)2}{x}}{x}$$

По условию воды больше, чем это количество, на три литра, то есть воды

$$m_v= m_{gl}+3= x-2-2cdotfrac{x-2}{x}-2cdotfrac{x-2-frac{(x-2)2}{x}}{x}+3$$

Но

$$ m_{gl}+ m_v=x$$

Поэтому

$$2cdot left(x-2-2cdotfrac{x-2}{x}-2cdotfrac{x-2-frac{(x-2)2}{x}}{x}right)+3=x$$

Решим это уравнение:

$$2x-4-4cdotfrac{x-2}{x}-4cdotfrac{x-2-frac{(x-2)2}{x}}{x}right)+3=x$$

$$x-1-4+frac{8}{x}-4+frac{8}{x}+frac{8(x-2)}{x^2}=0$$

$$x-9+frac{16}{x}+frac{8}{x}-frac{16}{x^2}=0$$

$$frac{x^3-9x^2+24x-16}{x^2}=0$$

$$ x^3-9x^2+24x-16=0$$

При попытке подобрать целочисленное решение по теореме Безу первый же корень – 1 – подходит. Делим наш многочлен на $x-1$ в столбик и получаем

$$(x-1)(x^2-8x+16)=0$$

$$(x-1)(x-4)^2=0$$

И ответом будет 4 л, так как отлить 2 л от одного не выйдет.

Ответ: 4 л.

 

Задача 4.

Влажность сухого цемента на складе 18 %. Во время дождей влажность повысилась на 2 %. Какова стала масса цемента, если его было 400 кг. 

Решение. Как и с изюмом, определяем массу сухого вещества. Этого сухого вещества 82% от 400 кг, то есть

$$0,82cdot 400=328$$

Так как влажность увеличилась, масса цемента увеличилась. Теперь эти 328 кг – это лишь 80% от полной масса цемента. Тогда полная масса

$$m=frac{328}{0,8}=410$$

Ответ: 410 кг.