Задание 9 профильного ЕГЭ - упрощение выражений

Рассмотрим упрощение выражений, тригонометрических и логарифмических. Потренируем формулы двойных аргументов, приведения. Вспомним правила работы с логарифмами.

Задание 1. Найдите $\operatorname{tg} x$, если:

$$\frac{\sin x-3\cos x}{2\sin x-\cos x}=2$$

Решение:

$$\sin x-3\cos x=2(2\sin x-\cos x) $$

$$-3\sin x=\cos x$$

Тогда $\operatorname{tg} x=-\frac{1}{3}$.

Задание 2. Упростите выражение.

$$7\sqrt{2}{\cos}^2 \frac{5\pi}{8}-7\sqrt{2}{\sin}^2 \frac{5\pi}{8}$$

$$7\sqrt{2}\left({\cos}^2 \frac{5\pi}{8}-{\sin}^2 \frac{5\pi}{8}\right)=$$

$$7\sqrt{2}\cos \frac{5\pi}{4}=7\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-7$$

Задание 3. Упростите выражение.

$$5\sin\frac{11\pi}{12}\cos \frac{11\pi}{12}=2,5\sin\frac{11\pi}{6}=2,5\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)=2,5\cdot(-0,5)=-1,25$$

Задание 4. Упростите выражение.

$$18\sqrt{6}\cos \frac{17\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6}=18\sqrt{6}\cos \frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6}=$$

$$=18\sqrt{6}\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}=27$$

Задание 5. Упростите выражение.

$$\frac{3 \log_{27} 288}{5\log_3 2+2}=\frac{3 \log_{27} 288}{5\log_3 2+\log_3 9}=$$

$$=\frac{3 \log_{27} 288}{\log_3 2^5\cdot9}=\frac{3\cdot\frac{1}{3} \log_{3} 288}{\log_3 2^5\cdot9}=$$

$$=\log_3 (288-2^5\cdot9)=\log_3 0=1$$

Задание 6. Упростите выражение.

$$\log_2 \cos \frac{\pi}{12}+\log_2 \sin \frac{\pi}{24}+\log_2 \sin \frac{11\pi}{24}=\log_2 \left(\cos \frac{\pi}{12}\cdot \sin \frac{\pi}{24}\cdot\sin \frac{11\pi}{24}\right)=$$

Произведение синусов – в разность косинусов:

$$= \log_2 \left(\frac{1}{2}\cos \frac{\pi}{12}\left(\cos\frac{5\pi}{12}-\cos\frac{6\pi}{12}\right)\right)=$$

Раскрываем скобки:

$$= \log_2 \frac{1}{2}\left(\cos \frac{\pi}{12}\cos\frac{5\pi}{12}-\cos \frac{\pi}{12}\cos\frac{6\pi}{12}\right)=$$

Второе слагаемое равно $0$, так как $\cos\frac{6\pi}{12}=0$, далее произведение косинусов преобразуется в сумму:

$$= \log_2 \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\left(\cos \frac{6\pi}{12}+\cos\frac{4\pi}{12}\right)\right)=$$ $$=\log_2 \left(\frac{1}{4}\cos \frac{\pi}{3}\right)= \log_2 (\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2})=\log_2 \frac{1}{8}=-3$$

Задание 7. Упростите выражение.

$$\frac{\left|{\log_{0,2} \left(\operatopname{tg}\frac{4\pi}{3}\right)}\right|}{\log_{0,2} \left(\operatopname{tg}\frac{4\pi}{3}\right)}+\frac{3\left|3\sqrt{7}-2\sqrt{13}\righr|}{3\sqrt{7}-2\sqrt{13}}+9\frac{\left|\arccos\left((-0,3)-\frac{\pi}{2}\right)\right|}{\arccos\left((-0,3)-\frac{\pi}{2}\right)}$$

Поскольку выражения в числителях и знаменателях одинаковые за исключением знака модуля, то здесь нам главное – понять, какие знаки будут иметь выражения, стоящие в знаменателях, так как в числителях у нас заведомо положительные числа. Итак, первое слагаемое.

$$\log_{0,2} \left(\operatopname{tg}\frac{4\pi}{3}\right)= \log_{0,2} (\sqrt{3})<0$$

Второе слагаемое:

$$3\sqrt{7}-2\sqrt{13}=\sqrt{9\cdot7}-\sqrt{4\cdot13}=\sqrt{63}-\sqrt{62}>0$$

Третье слагаемое:

$$\arccos(-0,3)-\frac{\pi}{2}=\pi-\arccos(0,3)- \frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}-\arccos(0,3)>0$$

Так как косинус, равный $0,3$,  имеет острый угол.

Тогда:

$$\frac{\left|{\log_{0,2} \left(\operatopname{tg}\frac{4\pi}{3}\right)}\right|}{\log_{0,2} \left(\operatopname{tg}\frac{4\pi}{3}\right)}+\frac{3\left|3\sqrt{7}-2\sqrt{13}\righr|}{3\sqrt{7}-2\sqrt{13}}+9\frac{\left|\arccos\left((-0,3)-\frac{\pi}{2}\right)\right|}{\arccos\left((-0,3)-\frac{\pi}{2}\right)}=-1+3+9=11$$