Степени и корни

В этой статье рассмотрены задачи со степенями и корнями, которые были предложены на вступительных экзаменах в различные вузы. Нужно либо упростить выражение, либо вычислить его значение.

Задача 1.

Вычислить:

$$(\sqrt{28}-\sqrt{12})\cdot \sqrt{10+\sqrt{84}}$$

Решение:

$$(\sqrt{28}-\sqrt{12})\cdot \sqrt{10+\sqrt{84}}=(2\sqrt{7}-2\sqrt{3})\cdot \sqrt{10+\sqrt{84}}=2(\sqrt{7}-\sqrt{3})\cdot \sqrt{7+2\sqrt{3}\sqrt{7}+3}$$

$$2(\sqrt{7}-\sqrt{3})\cdot \sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{7})^2}=2(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})=2(7-3)=8$$

Ответ: 8

Задача 2.

Вычислить:

$$\frac{(8^{\frac{1}{2}}+\sqrt{2})^2\cdot(4^{\frac{1}{3}}-\sqrt[3]{2})}{32^{\frac{1}{3}}-\sqrt[3]{16}}$$

Решение:

$$\frac{(8^{\frac{1}{2}}+\sqrt{2})^2\cdot(4^{\frac{1}{3}}-\sqrt[3]{2})}{32^{\frac{1}{3}}-\sqrt[3]{16}}=\frac{(\sqrt{8}+\sqrt{2})^2\cdot(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2})}{2^{\frac{5}{3}}-2^{\frac{4}{3}}}=$$

$=\frac{(2\sqrt{2}+\sqrt{2})^2\cdot(2^{\frac{2}{3}}-2^{\frac{1}{3}})}{{2^(\frac{1}{3}})^5-(2^{\frac{1}{3}})^4}=\frac{(\sqrt{2}(2+1))^2\cdot(2^{\frac{1}{3}}-1)2^{\frac{1}{3}}}{(2^{\frac{1}{3}})^4(2^{\frac{1}{3}}-1)}=$

$$=\frac{2\cdot9\cdot2^{\frac{1}{3}}}{(2^{\frac{1}{3}})^4}=\frac{2\cdot9}{(2^{\frac{1}{3}})^3}=\frac{2\cdot9}{2}=9$$

Задача 3.

Вычислить:

$$\frac{(\sqrt{5}-\sqrt{11})\cdot (\sqrt{33}+\sqrt{15}-\sqrt{22}-\sqrt{10})}{\sqrt{75}-\sqrt{50}}$$

Решение:

$$\frac{(\sqrt{5}-\sqrt{11})\cdot (\sqrt{33}+\sqrt{15}-\sqrt{22}-\sqrt{10})}{\sqrt{75}-\sqrt{50}}=$$

$$=\frac{(\sqrt{5}-\sqrt{11})\cdot (\sqrt{11}\sqrt{3}+\sqrt{5}\sqrt{3}-\sqrt{11}\sqrt{2}-\sqrt{5}\sqrt{2})}{5\sqrt{3}-5\sqrt{2}}=$$

$$=\frac{(\sqrt{5}-\sqrt{11})\cdot (\sqrt{3}(\sqrt{11}+\sqrt{5})-\sqrt{2}(\sqrt{11}+\sqrt{5}))}{5\sqrt{3}-5\sqrt{2}}=$$

$$=\frac{(\sqrt{5}-\sqrt{11})\cdot (\sqrt{3}-\sqrt{2}) \cdot(\sqrt{11}+\sqrt{5})}{5(\sqrt{3}-\sqrt{2})}$$

$$\frac{(\sqrt{5}-\sqrt{11})\cdot(\sqrt{11}+\sqrt{5})}{5}=\frac{5-11}{5}=-\frac{6}{5}=-1,2$$

Задача 4.

Вычислить:

$$\frac{1+2a^{\frac{1}{4}}-a^{\frac{1}{2}}}{1-a+4a^{\frac{3}{4}}-4a^{\frac{1}{2}}}+\frac{a^{\frac{1}{4}}-2}{(a^{\frac{1}{4}}-1)^2}$$

Решение:

Обозначим $a^{\frac{1}{4}}=b$, тогда

$$\frac{1+2a^{\frac{1}{4}}-a^{\frac{1}{2}}}{1-a+4a^{\frac{3}{4}}-4a^{\frac{1}{2}}}+\frac{a^{\frac{1}{4}}-2}{(a^{\frac{1}{4}}-1)^2}=\frac{1+2b-b^2}{1-b^4+4b^3-4b^2}+\frac{b-2}{(b-1)^2}=$$

$$=\frac{ b^2-2b- 1}{ b^4 -4b^3+4b^2-1}+\frac{b-2}{(b-1)^2}=$$

Предположим, что первая дробь должна сокращаться, следовательно, ее знаменатель должен бы делиться на числитель. Попробуем разделить столбиком знаменатель на числитель (здесь рассказано подробнее):

Деление многочлена на многочлен столбиком

$$=\frac{ b^2-2b- 1}{ (b^2-2b- 1)( b^2-2b+ 1)}+\frac{b-2}{(b-1)^2}=\frac{1}{b^2-2b+ 1}+\frac{b-2}{(b-1)^2}=\frac{1}{(b-1)^2}+\frac{b-2}{(b-1)^2}=\frac{b-1}{(b-1)^2}=\frac{1}{b-1}=\frac{1}{a^{\frac{1}{4}}-1}$$

Задача 5.

Вычислить:

$$\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} \cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{3}}$$

Заменим временно $\sqrt{2+\sqrt{3}}=a$

$$\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} \cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{2-\sqrt{2+a}} \cdot\sqrt{2+\sqrt{2+a}}\cdot\sqrt{2+a}\cdot a=$$

$$\sqrt{(2-\sqrt{2+a})(2+\sqrt{2+a})}\cdot\sqrt{2+a}\cdot a=\sqrt{(2^2-(2+a)}\cdot\sqrt{2+a}\cdot a=\sqrt{2-a}\cdot\sqrt{2+a}\cdot a=a\sqrt{(2-a)(2+a)}= a\sqrt{4-a^2}$$

Сделаем обратную подстановку:

$$=\sqrt{2+\sqrt{3}} \sqrt{4-(2+\sqrt{3})}=\sqrt{2+\sqrt{3}} \sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{4-3}=1$$

Задача 6.

Вычислить:

$$\sqrt[3]{2\sqrt[3]{4\sqrt[3]{2\sqrt[3]{4}\ldots}}}$$

Перепишем в виде степеней:

$$\sqrt[3]{2\sqrt[3]{4\sqrt[3]{2\sqrt[3]{4} \ldots}}}=2^{\frac{1}{3}}\cdot 4^{\frac{1}{9}} \cdot 2^{\frac{1}{27}} \cdot 4^{\frac{1}{81}}\ldots=2^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{27}}\ldots \cdot 4^{\frac{1}{9}}\cdot 4^{\frac{1}{81}}\ldots=$$

$$2^{\frac{1}{3}+\frac{1}{27}+\ldots }\cdot 4^{\frac{1}{9}+\frac{1}{81}+\ldots }=2^{\frac{1}{3}+\frac{1}{27}+\ldots }\cdot 2^{\frac{2}{9}+\frac{2}{81}+\ldots }$$

Замечаем, что степени образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем $\frac{1}{9}$. Определим сумму каждой прогрессии:

$$S_1=\frac{b_{11}}{1-q}=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{9}}=\frac{3}{8}$$

$$S_2=\frac{b_{12}}{1-q}=\frac{\frac{2}{9}}{1-\frac{1}{9}}=\frac{1}{4}$$

Получили:

$$2^{\frac{3}{8}}\cdot 2^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{3}{8}+\frac{1}{4}}=2^{\frac{3}{8}+\frac{2}{8}}=2^{\frac{5}{8}}=\sqrt[8]{2^5}$$