Преобразование тригонометрических выражений

Поучимся сегодня преобразовывать тригонометрические выражения. Эти задания относятся к заданиям 9 профильного ЕГЭ, а также заданиям 5 базового ЕГЭ.

Задача 1. Вычислите все  возможные значения выражения $\sin(-22w)$, если величина $w$ является решением уравнения:

$$306\cos(-11w)-187\sin(-11w)=0$$

Нам необходимо определить синус двойного угла. Из уравнения можем найти тангенс, а там и до синуса двойного аргумента рукой подать. Разделим уравнение на косинус (при условии, что косинус не равен нулю:$ \cos(-11w) \neq 0$):

$$306-187\operatorname{tg}(-11w)=0$$

$$\operatorname{tg}(-11w)=\frac{306}{187}$$

Теперь найдем синус двойного угла:

$$\sin(-22w)=\frac{2\operatorname{tg}(-11w)}{1+\operatorname{tg}^2 (-11w)}=\frac{114444}{128605}$$

Ответ: $\sin(-22w)= \frac{114444}{128605}$

Задача 2. Вычислите все  возможные значения выражения $\sin(-10k)$, если величина $k$ является решением уравнения:

$$64\cos(-5k)-64\sin(-5k)-\frac{832}{\sqrt{2329}}=0$$

Разделим на 64:

$$\cos(-5k)-\sin(-5k)-\frac{13}{\sqrt{2329}}=0$$

Перепишем иначе:

$$\cos(-5k)-\sin(-5k)=\frac{13}{\sqrt{2329}}$$

Возведем в квадрат:

$$(\cos(-5k)-\sin(-5k))^2=\frac{169}{2329}$$

Раскрыв скобки, имеем:

$$\cos^2(-5k)-2\sin(-5k) \cos(-5k)+\sin^2(-5k)=\frac{169}{2329}$$

$$1-2\sin(-5k) \cos(-5k)=\frac{169}{2329}$$

Следовательно,

$$2\sin(-5k) \cos(-5k)=1-\frac{169}{2329}=\frac{2160}{2329}$$

Ответ: $\sin(-10k)= \frac{2160}{2329}$