Две задачи на вычисление

Несколько задач на вычисление. Хитрые задачи! Вторая - вполне достойна ДВИ.

Задача 1.

Вычислить

$$\cos 20^{\circ}\cdot \cos 40^{\circ}\cdot \cos 80^{\circ}$$

Решение.

$$\cos 20^{\circ}\cdot \cos 40^{\circ}\cdot \cos 80^{\circ}=\frac{\cos 20^{\circ}\cdot \cos 40^{\circ}\cdot \cos 80^{\circ}\cdot 2\sin 20^{\circ}}{2\sin 20^{\circ}}=\frac{\sin 40^{\circ}\cdot \cos 40^{\circ}\cdot \cos 80^{\circ}}{2\sin 20^{\circ}}=\frac{\sin 80^{\circ}\cdot \cos 80^{\circ}}{4\sin 20^{\circ}}=\frac{\sin 160^{\circ}}{8\sin 20^{\circ}}=0,125$$

Ответ: 0,125.

Задача 2.

Вычислить

$$\operatorname{tg^2} 36^{\circ}\cdot \operatorname{tg^2} 72^{\circ}$$

Решение:

$$\operatorname{tg^2} 36^{\circ}\cdot \operatorname{tg^2} 72^{\circ}=\operatorname{tg^2} 36^{\circ}\cdot \operatorname{ctg^2} 18^{\circ}$$

Представим $36^{\circ}=18^{\circ}+18^{\circ}$:

$$\operatorname{tg^2} 36^{\circ}\cdot \operatorname{tg^2} 72^{\circ}=\operatorname{tg^2} 36^{\circ}\cdot \operatorname{ctg^2} 18^{\circ}=\frac{4\operatorname{tg^2}18^{\circ}}{(1-\operatorname{tg^2}18^{\circ})^2}\cdot \operatorname{ctg^2} 18^{\circ}=\frac{4}{(1-\operatorname{tg^2}18^{\circ})^2}$$

Так как $\operatorname{tg}54^{\circ}=\operatorname{ctg}36^{\circ}$, воспользуемся этим. Пусть $\alpha=18^{\circ}$.

$$\operatorname{tg}3\alpha=\operatorname{ctg}2\alpha$$

$$\operatorname{tg}2\alpha=\frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg}^2\alpha}$$

$$\operatorname{ctg}2\alpha=\frac{1-\operatorname{tg^2}\alpha }{2\operatorname{tg}\alpha}$$

$$\operatorname{tg}3\alpha=\operatorname{tg}(2\alpha+\alpha)= \frac{\operatorname{tg}2\alpha+\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg}\alpha\cdot \operatorname{tg}2\alpha }=\frac{\frac{2\operatorname{tg}\alpha }{1-\operatorname{tg^2}\alpha }+\operatorname{tg}\alpha }{1-\frac{2\operatorname{tg}\alpha }{1-\operatorname{tg^2}\alpha }\cdot \operatorname{tg}\alpha }=$$

$$=\frac{2\operatorname{tg}\alpha +\operatorname{tg}\alpha -\operatorname{tg^3}\alpha }{1-3\operatorname{tg^2}\alpha }}$$

Пусть $\operatorname{tg}\alpha=a$, тогда

$$\frac{3a-a^3}{1-3a^2}=\frac{1-a^2}{2a}$$

$$1-a^2-3a^2+3a^4=6a^2-2a^4$$

$$5a^4-10a^2+1=0$$

$$a^2=\frac{10\pm\sqrt{100-20}}{10}=1\pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$$

$$\operatorname{tg^2} 18^{\circ}=1- \frac{2\sqrt{5}}{5}$$

Таким образом,

$$\frac{4}{(1-\operatorname{tg^2}18^{\circ})^2}=\frac{4}{\left(1-1+ \frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2}=\frac{4\cdot 25}{4\cdot 5}=5$$

Ответ: $\operatorname{tg^2} 36^{\circ}\cdot \operatorname{tg^2} 72^{\circ}=5$.