Задача с окружностями

Несложная, приятная задача, которая напомнит уравнение окружности, а также поможет научиться выделить его, и напоминает, как найти  расстояние между точками, зная их координаты.

Концы отрезка расположены на линиях, заданных уравнениями:

$$\begin{Bmatrix}{g^2+8k-272+2g+k^2=0}\\{g^2-40k+k^2+16g+448=0 }\end{matrix}$$

Чему равна наименьшая возможная длина отрезка?

Преобразуем уравнения и запишем иначе:

$$\begin{Bmatrix}{g^2+2g+1-1 -272+k^2+8k +16-16=0}\\{g^2+16g+64-64+k^2 -40k +400-400+448=0 }\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{(g^2+2g+1)+(k^2+8k +16)-289=0}\\{(g^2+16g+64)+(k^2 -40k +400)-16=0 }\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{(g+1)^2+(k+4)^2=17^2}\\{(g+8)^2+(k-20)^2=4^2}\end{matrix}$$

Таким образом, получили две окружности. Первая с центром в точке $A(-1;-4)$  и радиусом 17, вторая – с центром в точке $B(-8;20)$ и радиусом 4.

Две окружности

Очевидно, что кратчайшее расстояние между двумя точками, лежащими на данных окружностях – расстояние между точками, принадлежащими  окружностям и лежащими на линии, соединяющей центры этих окружностей, и равно оно будет расстоянию между центрами за вычетом обоих радиусов. Зная координаты центров, легко найти расстояние между ними:

$$CD=AB-17-4$$

$$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=\sqrt{(-8-(-1))^2+(20-(-4))^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$$

$$CD=25-21=4$$

Ответ: 4