Разные геометрические задачи на доказательство

Все задачи взяты из книги "ОГЭ 2015. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Под редакцией И.В. Ященко"

Задача 1. В треугольнике АВС с тупым углом ВАС проведены высоты   и . Докажите, что треугольники и  подобны.

К задаче 1

Дополнительные построения

Чтобы доказать подобие, нам потребуется доказать равенство хотя бы двух углов треугольников  и . Один видно сразу: очевидно, что угол  равен углу   как вертикальный. Осталось доказать равенство еще каких-нибудь двух углов этих треугольников. Рассмотрим треугольники   и  . Они прямоугольные, и имеют равные гипотенузы. Значит, если провести окружность диаметром BC, то она будет описанной и для треугольника   и  для треугольника . Тогда угол   - вписанный и  угол - также, и опираются они на одну дугу. Вот мы и доказали равенство двух углов в треугольниках   и , то есть, они подобны, ч.т.д.

Задача 2. Докажите, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

К задаче 2

Рассмотрим углы ADB и BDC. Их сумма равна , так как они смежные. Биссектриса   угла ADB делит его на равные углы 1 и 2, а биссектриса   угла BDC делит его в свою очередь на равные углы 3 и 4. Тогда сумма всех малых углов  , а так как угол , а угол  , то можно записать, что  , или  , или, иначе,  , ч.т.д.

К задаче 3

Задача 3. Докажите, что биссектрисы   и  внутренних накрест лежащих углов, образованных параллельными прямыми  и  и секущей , параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

Так как прямые параллельны, то внутренние накрест лежащие углы равны. Биссектрисы e и d делят пополам каждая свой угол. Но так как равны сами накрест лежащие углы, то равны и их половины (на рисунке все равные углы обозначены дугой одного цвета). Но углы 1 и 2 являются внутренними накрест лежащими для прямых d и e при пересечении их секущей с, а следовательно, прямые e и d параллельны, ч.т.д.

Задача 4. Докажите, что прямые  и , изображенные на рисунке, параллельны.

К задаче 4

Рассмотрим рисунок. Из него видно, что угол вертикальным с углом  , а значит, тоже равен . По той же причине угол  равен . Тогда в треугольнике, образованном пересекающимися прямыми, нам известны два угла и мы можем определить третий - угол  - из суммы углов треугольника. Тогда  . Угол   является соответственным с известным углом, равным , и, так как соответственные углы равны, то прямые a и b параллельны.  

Задача 5. Докажите, что диагональ четырехугольника меньше его полупериметра.

К задаче 5

 Рассмотрим треугольник ABC и запишем для него неравенство треугольника: . То же самое сделаем для треугольника ADC:  . Теперь просто сложим два неравенства: . В правой части имеем не что иное, как периметр четырехугольника: , ну а теперь разделим наше неравенство пополам, и правую, и левую части: , ч.т.д.

Задача 6. Докажите, что два острых угла со взаимно перпендикулярными сторонами равны.

К задаче 6

Сторона CD угла ACD перпендикулярна стороне OD угла AOD, сторона CA угла ACD перпендикулярна стороне AO угла AOD. Рассмотрим образовавшиеся треугольники ABC и OBD. Их углы CBA и DBO вертикальные, а значит, равны. Кроме того, оба треугольника прямоугольные, значит, они подобны по двум углам, а в подобных треугольниках равны все углы, значит, угол ACB равен углу BOD, ч.т.д.

Задача 7. Стороны тупого угла А соответственно перпендикулярны сторонам угла В. Докажите, что сумма углов А и В равна 180 градусам.

К задаче 7

Рассмотрим треугольник ABC. Сумма его углов равна  . Сумма углов треугольника ABD также равна  . Тогда сумма всех углов четырехугольника ACBD равна  . Два угла рассматриваемого четырехугольника прямые, их сумма  . Тогда , ч.т.д.

Задача 8. В равностороннем треугольнике АВС точки M, N, K - середины сторон АВ, ВС и СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK - равносторонний.

К задаче 8

Так как M и N - середины сторон AB и BC, то MN - средняя линия треугольника ABC, а значит, . Так как N и K - середины сторон BC и AC, то NK - средняя линия треугольника ABC, а значит, . Аналогично . Так как треугольник ABC равносторонний, то равны все его стороны, а следовательно, и половины сторон:  , что, в свою очередь, означает, что треугольник MNK равносторонний, ч.т.д.

Задача 9. На стороне ВС  квадрата АВСD взята точка К. Докажите, что площадь треугольника AKD равна половине площади квадрата.

К задаче 9

Площадь квадрата равна  , так как его стороны равны. Площадь треугольника AKD равна произведению основания на высоту:  . Высота треугольника равна  , тогда  , ч.т.д.

Задача 10. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

К задаче 10

Проведем доказательство от обратного. Предположим, что  . Тогда треугольник ABH равнобедренный, и угол HBA равен углу BAH. В то же время треугольник HAC также равнобедренный, и угол HAC равен углу HCA. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна . Тогда и сумма углов BAH и HCA равна  тоже , а это дано нам по условию. Следовательно,  . Можно также поместить центр окружности в точку H и провести окружность радиусом HB. Она пройдет и через точку C. Тогда, поскольку угол BAC прямой, эта окружность должна пройти через точку A, так как угол BHC - развернутый и центральный, а угол, опирающийся на ту же дугу - прямой, и, следовательно, вписанный. Тогда AH - радиус окружности и  .