Деление многочленов "уголком"

Сегодня учимся делить многочлены "уголком", так, как это делают с обычными числами. Рассмотрим несколько примеров подробно. Например, разделим многочлен на двучлен  (Здесь деление можно произвести без остатка. Этот вопрос - можно или нельзя поделить данный многочлен на предлагаемый двучлен обсуждается в статье "Схема Горнера"). Итак, за работу!

Выписываем наш многочлен и рядом, "на полочке" - двучлен, на который будем делить - все как с числами:

 

Теперь сравниваем старшую степень многочлена и старшую степень делителя, и определяем, во сколько раз первая больше второй (по сути, делим на ):

Результат деления записываем под полочку - это первый "кусочек" ответа:

Теперь нам предстоит умножить полученный одночлен  на двучлен , который стоит на полочке (на наш делитель). Умножаем почленно, сначала на первое слагаемое:

А теперь на второе:

Результаты умножения пишем, как показано, под соответствующие степени делимого многочлена - кубы под кубы, квадраты - под квадраты и т. п.  Теперь производим вычитание:

И сносим вниз следующий одночлен ():

Переходим на новый уровень и продолжаем в том же духе. Опять сравниваем старшие степени и результат деления на  записываем под полочку, получилось (не забудем про минус!):

И опять умножаем полученный одночлен () на оба слагаемых делителя. Сначала на первое слагаемое:

Теперь на второе:

 

И снова вычитаем, и к полученному результату сносим вниз новый одночлен, который собираемся подвергнуть казни операции деления:

 

И вот мы опять на новом уровне! Но... здесь все надо начинать сызнова. Сравниваем старшие степени, делим старшую степень делимого на старшую степень делителя, результат пишем под полку:

 

Умножаем почленно, сначала  на , потом  на :

 

Вычитаем, сносим последнее слагаемое, сравниваем старшие степени, производим деление  на , результат (-15) - пишем под полку.

Ну, чем кончилось данное приключение, понятно:

Деление закончилось без остатка - то есть исходный многочлен поделился на  нацело. Ответ: . Заметим, что исходный многочлен был четвертой степени, деление производили на двучлен первой степени - получили в ответе многочлен третьей степени.

Попробуем еще раз?

Разделим многочлен на .

Выполняем те же шаги: сравниваем старшие степени делимого и делителя. Производим деление:

Полученное частное записываем под полочку. Умножаем его почленно на слагаемые делителя: на , затем на  , и наконец на  :

 

Выполняем вычитание, "спускаем" вниз очередное слагаемое делимого. После этого все начинаем сначала: сравниваем старшие члены делимого и делителя...:

 

Дальше - можно уже без комментариев:

 

И наконец:

 

Ответ: . Заметим, что исходный многочлен был третьей степени, деление производили на квадратный трехчлен - получили в ответе двучлен первой степени. Вообще степень делимого многочлена понижается всегда на степень делителя.

Пример 3:

 

 

Во всех примерах получалось разделить многочлен на многочлен без остатка, однако так бывает не всегда. Вот, например, случай, когда остаток от деления ненулевой:

 

Деление необходимо продолжать, пока степень делимого не станет равной, а лучше - меньшей, чем у делителя.

Задача:

при делении многочлена на двучлен  образовался остаток 42. Найти результат деления.

Решение: рассмотрим случай, когда остается остаток от деления. Если  разделить на  и при этом остается остаток N, то это можно записать так: . Тогда V можно найти так: . Определим ту часть многочлена, которая полностью делится на  (без остатка):

 

Теперь произведем деление:

Ответ:  .

Еще задача:

при делении многочлена на двучлен  образовался остаток . Найти результат деления.

Решение:  V можно найти так: . Определим ту часть многочлена, которая полностью делится на  (без остатка):

 

Теперь можно делить:

 

Ответ:  .

Достоинства способа: делить можно что угодно на что угодно, лишь бы степень делимого не была меньше, чем степень делителя. Делить можно на двучлен, на трехчлен и т.д. Делить можно даже в том случае, если остается остаток.